Question

【题目】已知函数f（x）=log2（x+2）与g（x）=（x﹣a）2+1，若对任意的x1∈[2，6），都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[﹣1，2﹣ ]∪[ ，3]
【解析】解：∵x1∈[2，6），∴f（2）≤f（x1）＜f（6），即2≤f（x1）＜3，∴f（x1）的值域为[2，3）．
g（x）的图象开口向上，对称轴为x=a，
1）若a≤0，则g（x）在[0，2]上是增函数，∴g（0）≤g（x2）≤g（2），即g（x2）的值域为[a2+1，a2﹣4a+5]，
∴ ，解得﹣1≤a≤0．
2）若a≥2，则g（x）在[0，2]上是减函数，∴g（2）≤g（x2）≤g（1），即g（x2）的值域为[a2﹣4a+5，a2+1]，
∴ ，解得2≤a≤3．
3）若0＜a≤1，则gmin（x）=g（a）=1，gmax（x）=g（2）=a2﹣4a+5，∴g（x）的值域为[1，a2﹣4a+5]，
∴ ，解得0 ．
4）若1＜a＜2，则gmin（x）=g（a）=1，gmax（x）=g（0）=a2+1，∴g（x）的值域为[1，a2+1]，
∴ ，解得 a＜2．
综上，a的取值范围是[﹣1，0]∪[2，3]∪（0，2﹣ ）∪（ ，2）=[﹣1，2﹣ ]∪[ ，3]．
所以答案是[﹣1，2﹣ ]∪[ ，3]．