Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

试题分析：（1先求出导函数，由可得增区间，由可得减区间；（2）假设存在使得成立成立，则；分三种情况讨论求最值得到，即，即可求实数的取值范围.

试题解析：（1）∵函数的定义域为，，

∴当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减.

（2）假设存在，使得成立，

则.

∵，

∴.

①当时，，在上单调递减，

∴，即.

②当时，，在上单调递增，

∴，即.

③当时，若，，在上单调递减；

若，，在上单调递增，

所以，

即，（*）

由（1）知，在上单调递减，

故，而，所以不等式（*）无解.

综上所述，存在，使得命题成立.