Question

已知函数f(x)=ex-

a

2

x2+e2x，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（I）当a=e²时，求曲线y=f（x）在x=-2处的切线方程；
（II）若函数f（x）在[-2，2]上为单调增函数，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）当a=e²时，对f（x）进行求导，求出其在x=-2处的斜率，根据点斜式求出切线的方程；
（II）函数f（x）在[-2，2]上为单调增函数，可得f′（x）=e^x-ax+e²≥0对任意的x∈[-2，2]恒成立，分两种情况：x=0或x≠0，从而求解；

解答：解：由题意得f（x）的定义域为R，且f′（x）=e^x-ax+e²，
（I）由于a=e²，则f（x）=e^x-

e2

2

x²+e²x，f′（x）=e^x-e²x+e²，
故f（-2）=e^-2-4e²，f′（-2）=e^-2+3e²，
所以f（x）在x=-2处的切线方程为：y=f′（-2）（x+2）+f（-2），即y=（e^-2+3e²）x+3e^-2+2e²，
（II）因为f（x）在[-2，2]上为单调增函数；
所以f′（x）=e^x-ax+e²≥0对任意的x∈[-2，2]恒成立，
①当x=0时，不等式成立；
②当x≠0时，即可转化为不等式a≤

ex+e2

x

对x∈（0，2]恒成立且不等式
a≥

ex+e2

x

对x∈[-2，0）恒成立，
令h（x）=

ex+e2

x

，-2≤x≤2，x≠0，则h′（x）=

xex-ex- e2

x2

令p（x）=xe^x-e^x-e²，则p′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x，
当x∈[-2，0），p′（x）＜0，；当x∈（0，2]时，p′（x）＞0，
故p（x）在[-2，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增；
又p（2）=0，p（-2）＜0，
所以当x∈[-2，0）时，h′（x）＜0；当x∈（0，2]时，h′（x）≤0，
所以h（x）在∈[-2，0）上单调递减，在∈（0，2]上单调递减．
所以h（x）在∈[-2，0）上的最大值M=h（-2）=-

e-2+e2

2

，在（0，2]上的最小值N=h（2）=e²，
所以满足条件的实数a的取值范围为：[-

e-2+e2

2

，e²]，所以实数a的最大值为e²

点评：此题主要考查利用导数研究导数的单调性，利用了分类讨论的思想，此题是一道综合性题，有一定的难度；