Question

设f '(x)和g'(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f '(x)g'(x)≤0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性相反．若函数f(x)＝x3－2ax与g(x)＝x2＋2bx在开区间(a，b)上单调性相反(a＜b)，则b－a的最大值为______．

 

Answer 1

【解析】试题分析：∵f(x)＝x3－2ax，g(x)＝x2＋2bx，

∴f '(x)＝x2－2a，g'(x)＝2x＋2b；

由题意得f '(x)g'(x)≤0在(a，b)上恒成立，

∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x＋2b＞0恒成立，

∴x2－2a≤0恒成立，即－≤x≤；

又∵0＜a＜x＜b，∴b≤，

即0＜a≤，解得0＜a≤2；

∴b－a≤－a＝－()2＋，

当a＝时，取“＝”，

∴b－a的最大值为．

故答案为．

考点：利用导数研究函数的性质，函数的单调性，最值