若是定义在上的函数，当时，，且当时，，则方程的实数根的个数为__________．

已知数列满足，前项和为，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求的前项和．

已知四棱锥如图所示，其中四边形是菱形，且，三角形是等边三角形，平面平面，点为棱上的点，且．

（1）求证：是直角三角形；

（2）若，求四棱锥的体积．

从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组，第一组；第二组；…；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）求成绩在区间内的学生人数；

（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选取2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．

已知椭圆：与轴的正半轴相交于点，点为椭圆的焦点，且是边长为2的等边三角形，若直线与椭圆交于不同的两点．

（1）直线的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）求的面积的最大值．

设函数，．

（1）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若且，求证：在区间上有且仅有一个零点．

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；

（2）若曲线上存在点到直线的距离为，求实数的取值范围．

选修4-5：不等式选讲

已知函数，．

（1）若，解不等式；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

已知在中，角的对边分别是，且．

（1）求角的大小；

（2）若的面积，，求的值．

已知椭圆：的一个顶点坐标为，离心率为，动直线交椭圆于不同的两点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试问：的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．