【题目】已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.

（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.

【题目】已知函数（为自然对数的底，为常数，）有两个极值点，且.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的一个动点，当直线的斜率等于时，轴.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线与直线相交于点，试判断以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：

从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：

若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.

（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；

（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；

（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.

（参考数据：，，）

【题目】已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）点是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.

【题目】如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.

（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；

（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.

【题目】已知点及圆.

（1）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程；

（2）求过点的圆的弦的中点的轨迹方程.

【题目】数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．

（1）求数列的通项；

（2）数列满足，其中．

①证明：数列为等比数列；

②求集合．

【题目】已知曲线的方程为．

（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；

（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？

（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．