【题目】已知，函数的图象与轴相切．

（1）求实数a的值；

（2）求的单调区间；

（3）当时，恒有，求实数的取值范围．

【题目】假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5.

.

（1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；

（2）弹珠由点开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，求的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞.

【题目】已知椭圆：左、右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是______.

（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；

（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.

【题目】已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

【题目】若函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意的正整数都有，.

（Ⅰ）求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；

（Ⅱ）随机变量表示放在2号抽屉中书的本数，求的分布列和数学期望.

【题目】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.

（1）求和的参数方程；

（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点， 与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.

【题目】某家庭为了解冬季用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温在一定范围内时，用电量与气温具有线性相关关系：

（1）求出用电量关于气温的线性回归方程；

（2）在这5天中随机抽取两天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率.

（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为，）

【题目】已知函数，， 为自然对数的底数．

（1）若，，证明：当时，恒成立；

（2）若，，在上存在两个极值点，求的取值范围．