【题目】已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．

⑴求，，并猜想不要求证明)；

⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．

【题目】已知双曲线：的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点如图)．

⑴若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；

⑵若，，，，试求双曲线的方程；

⑶在⑴的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线l：分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值单位：与游玩时间小时)满足关系式：；

②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变)；

③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．

⑴当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；

⑵该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．

【题目】若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数．

（）判断下列函数：①；②；③中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（）判断函数是否为等比源函数，并证明你的结论．

（）证明： ， ，函数都是等比源函数．

【题目】已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上.

（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积；

（2）若，求证：直线过一定点；

（3）若，的外接圆半径为，求的值.

已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.

（I）求圆的普通方程及其极坐标方程；

（II）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.

【题目】已知函数（，为常数）在内有两个极值点，（）

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：.

【题目】已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，且与轴交于点.

（1）若直线的斜率，且，求的值；

（2）若，轴上是否存在点，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

【题目】如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.

（1）证明：；

（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.

【题目】已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论：

①三棱锥的体积最大值为；

②三棱锥的外接球体积不变；

③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是；

④异面直线与所成角的最大值为.

其中正确的是（ ）

A.①②④B.②③C.②④D.③④