【题目】如图，三棱柱中，平面，，.以，为邻边作平行四边形，连接和.

（1）求证：平面；

（2）若二面角为45°，

①证明：平面平面；

②求直线与平面所成角的正切值.

【题目】（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线l和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）点M为曲线C上一点，求M到直线l的最小距离．

【题目】已知函数，其中m为常数，且是函数的极值点．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的最小值．

【题目】已知椭圆的焦距和短轴长度相等，且过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）圆与椭圆C分别交y轴正半轴于点A，B，过点（，且）且与x轴垂直的直线l分别交圆O与椭圆C于点M，N（均位于x轴上方），问直线AM，BN的交点是否在一条定直线上，请说明理由．

【题目】如图1所示在菱形ABCD中，，，点E是AD的中点，将沿BE折起，使得平面平面BCDE得到如图2所示的四棱锥，点F为AC的中点．在图2中

（Ⅰ）证明：平面ABE；

（Ⅱ）求点A到平面BEF的距离．

【题目】某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；

（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全下表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？

参考公式：，其中．

参考附表：

【题目】两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中.

（1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由；

（2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；

（3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由.

【题目】直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.

（1）求点的坐标；

（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；

（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.

【题目】甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，比例系数为（），固定部分为1000元.

（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？