Question

【题目】直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.

（1）求点的坐标；

（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；

（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由于点在直线上，所以设点的坐标为，然后由到点的距离是它到点的距离的3倍列方程求出，从而可得点的坐标；

（2）由可知，由此可，再将点坐标代入双曲线方程中，解方程组可得；

（3）由可知线段的中垂线过点，再利用两直线斜率的关系可得结果.

解：（1）因为点在直线上，所以设点的坐标为，

因为到点的距离是它到点的距离的3倍，

所以

所以，

化简得，

解得

所以

所以点的坐为；

（2）因为，所以，

所以点的坐标为，即

因为点在双曲线上，所以，

由，得，

所以双曲线方程为

（3）因为点关于直线的对称点为，

所以点的坐标为，

设直线为为，，

由得，，

因为直线与双曲线交于不同的两点，

所以，

化简得，

由根与系数的关系得，

所以，所以线段的中点为，

因为，

所以，化简得，

所以，得，

解得或，

又因为，所以解得的取值范围为