Question

【题目】已知椭圆的焦距和短轴长度相等，且过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）圆与椭圆C分别交y轴正半轴于点A，B，过点（，且）且与x轴垂直的直线l分别交圆O与椭圆C于点M，N（均位于x轴上方），问直线AM，BN的交点是否在一条定直线上，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）两直线交点一定在x轴上，理由详见解析．

【解析】

(Ⅰ)根据题意列出关于的方程,解方程组求出,即可得椭圆方程;

(Ⅱ)设,由,,可推出,然后利用两点坐标写出直线的直线方程,联立直线方程即可求出交点的纵坐标,从而得出直线AM,BN的交点一定在x轴上.

(Ⅰ)由题意可得:,

解得:,,

∴椭圆C的方程为;

(Ⅱ)由题可知,设

因为在椭圆上,在圆上,

所以,,

所以,

直线,

直线,

设两直线的交点坐标为,则,解得,

故直线AM,BN的交点一定在x轴上.