Question

14．如图所示，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长为l的绝缘细绳一端固定在O点，另一端系有质量为m并带有一定电荷的小球，小球原来静止在C点，当给小球一个水平速度后，它能在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，若将两板间的电压增大为原来的3倍，要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？

Answer 1

分析 小球在原来电场为E情况下做匀速圆周运动，则有mg=qE；当电压增大到电压增大到原来的3倍，两极板间的电场强度变为E′=3E，则在C点必须给C足够的速度，让其能在电场力和重力作用下做圆周运动，此时绳的拉力为0时，小球圆周运动的速度最小，由此可求C点的初速度；
由C到D小球做加速运动，故速度一直增大，在D点速度最大，此时绳的拉力最大，由动能定理可得D点的速度，进而可得绳的最大拉力．

解答 解：小球开始做匀速圆周运动，故mg=qE，
当电压增大到原来的3倍，故两极板间的电场强度变为E′=3E，
在C点绳的拉力为0时，小球圆周运动的速度最小：
$qE′-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：
${v}_{C}=\sqrt{2gl}$，
由C到D，依据动能定理可得：
$3qE′•2l-mg2l=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
解得：
${v}_{D}=\sqrt{10gl}$，
小球运动过程中细绳所受的最大拉力在D位置，此时绳的拉力和重力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
$T+mg-qE′=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{l}$，
解得：
T=12mg．
答：
要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给的水平速度为${v}_{C}=\sqrt{2gl}$；在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是12mg．

点评 该题不同于一般的绳杆模型问题，这里涉及的不是小球能不能到最高点的问题，而是小球一开始能不能做圆周运动的问题，电场变化后，若不给小球初速度，小球就会做匀加速直线运动．