Question

【题目】某根水平固定的长滑竿上有n(n≥3)个质量相同的滑扣(即可以滑动的圆环)，每相邻的两个滑扣(极薄)之间有不可伸长的柔软轻质细线相连，细线长度均为L，滑扣在滑竿上滑行的阻力大小恒为滑扣对滑竿正压力大小的μ倍。开始时所有滑扣可近似地看成挨在一起(但未相互挤压)；今给第1个滑扣一个初速度使其在滑竿上开始向左滑行(平动)；在滑扣滑行的过程中，前、后滑扣之间的细线拉紧后都以共同的速度向前滑行，但最后一个(即第n个)滑扣固定在滑竿边缘。已知从第1个滑扣开始的(n一1)个滑扣相互之间都依次拉紧，继续滑行距离l(0<l<L)后静止，且所有细线拉紧过程的时间间隔极短。求：

（1）滑扣1的初速度的大小；

（2）整个过程中克服摩擦力所做的功；

（3）整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总动能损失。

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）为普遍起见，设两个物体质量分别为m1和m2，初速度分别为v1和0，发生完全非弹性碰撞后共同速度为v，则碰前的动能

E= ①

由于细绳拉紧前后时间间隔极短，可以忽略摩擦阻力，故前后动量守恒，有

m1v1=(m1+m2)v ②

碰后的动能之和(即系统剩余动能)为

E′= ③

由①②③式得

E′= ④

此式为后续计算的通式，后续计算特别简单，因为质量相等

损失的动能为

ΔE=E－E′=

设第1个滑扣以速度v10开始运动

E0= ⑤

在第1个滑扣滑动距离L、第1与第2个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E1f=E0－μmgL ⑥

在第1个滑扣与第2个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬前，系统剩余动能为(根据④式)

E20== ⑦

在第1、2个滑扣共同滑动距离L、第2与第3个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E2f=E20－2μmgL== ⑧

在第2个滑扣与第3个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬前，系统剩余动能为(根据④式)

E30== ⑨

在第1、2、3个滑扣共同滑动距离L、第3与第4个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为 E3f=E30－3μmgL=－3μmgL= ⑩

……

依次类推，在第k个与第k+1个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

Ekf==

= 1≤k≤n－2

于是，在第(n－2)个与第(n－1)个滑扣之间的细绳刚拉紧前的瞬间，系统剩余动能为

E(n－2)f = ⑾

在第(n－2)个与第(n－1)个滑扣之间的细绳刚拉紧后的瞬间，系统剩余动能为

E(n－1)0= = ⑿

(可类比⑦、⑨，并代入⑾得到)

由⑾知，E(n－2)f >0

>0

E(n－1)f <0

<0，

得

<E0<

本式题目中没有要求的，相当于给出了待求量的定义域

则从第1个滑扣开始的(n－1)个滑扣都依次拉紧，且可继续滑行距离l(0<l<L)后静止。因而有

E(n－1)0= =(n－1) μmgl (因为要继续滑行距离l) ⒀

由⑤⒀得滑扣1的初速度的大小

v10

（2）整个过程中克服摩擦力所做的功为

W=μmgL+μ(2m)gL+μ(3m)gL+……+μ[(n－2)m]gL+μ[(n－1)m]gl=

（3）在整个过程中仅仅由于细线拉紧引起的总能量损失为