Question

13．如图所示，半径R=5$\sqrt{5}$m的大圆环竖直固定放置，O点是大圆环的圆心，O′是O点正上方一个固定点，一根长为L=5m的轻绳一端固定在O′点，另一端系一质量m=1kg的小球，将轻绳拉至水平并将小球由位置A静止释放，小球运动到最低点O点时，轻绳刚好被拉断，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）轻绳所能承受的最大拉力；
（2）小球落至大圆环上时的动能．

Answer 1

分析 （1）轻绳被拉断前瞬间所承受的拉力最大．先根据机械能守恒定律求出小球运动到最低点的速度，结合牛顿第二定律求出绳子的最大拉力；
（2）绳子断裂后，小球做平抛运动，结合平抛运动的规律，抓住竖直位移和水平位移的关系求出运动的时间，再求出小球落到大圆环上的速度，从而求出动能．

解答 解：（1）设小球摆到O点的速度为v，小球由A到O的过程，由机械能守恒定律有：
  mgL=$\frac{1}{2}$mv²；
解得 v=10m/s
在O点由牛顿第二定律得：
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
联立解得：F=3mg=30N
即轻绳所能承受的最大拉力是30N．
（2）绳被拉断后，小球做平抛运动，设平抛运动的时间为t，则小球落在大圆环上时有：
 x=vt
 y=$\frac{1}{2}$gt²
且有 x²+y²=R²
联解并代入数据得：t=1s
小球落在大圆环上时速度为 v′=$\sqrt{{v}^{2}+（gt）^{2}}$=10$\sqrt{2}$m/s
动能 E_k=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=100J
答：
（1）轻绳所能承受的最大拉力是30N．
（2）小球落至大圆环上时的动能是100J．

点评 本题是机械能守恒定律、平抛运动和圆周运动的综合，要知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，明确圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．