Question

2．如图所示，内壁光滑长度为4l、横截面积为S的汽缸A、B，A水平、B竖直固定，之间由一段容积可忽略的细管相连，整个装置置于温度27℃、大气压为p₀的环境中，活塞C、D的质量及厚度均忽略不计．原长3l、劲度系数$k=\frac{{3{p_0}S}}{l}$的轻弹簧，一端连接活塞C、另一端固定在位于汽缸A缸口的O点．开始活塞D距汽缸B的底部3l．后在D上放一质量为$m=\frac{{{p_0}S}}{g}$的物体．求：
（1）稳定后活塞D下降的距离；
（2）改变汽缸内气体的温度使活塞D再回到初位置，则气体的温度应变为多少？

Answer 1

分析 （1）开始时，活塞质量不计，容器内气体的压强等于大气压，弹簧处于原长；在活塞D上放上质量为m的物体后，活塞D下降后再次达到平衡时，由对活塞C受力平衡条件求得容器内气体的压强．封闭气体发生等温变化，根据玻意耳定律列式求解；
（2）升高气缸内气体温度，当活塞D刚好回到初始位置，此过程中压强不变，弹簧的形变量不变，C的位置不变，对最初和最终根据理想气体状态方程列式即可求出气体温度

解答 解：（1）开始时被封闭气体的压强为${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}$，活塞C距气缸A的底部为l，被封气体的体积为4lS，重物放在活塞D上稳定后，被封气体的压强为：
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=2{p}_{0}^{\;}$
活塞C将弹簧向左压缩了距离${l}_{1}^{\;}$，则活塞C受力平衡，有：
$k{l}_{1}^{\;}=（{p}_{2}^{\;}-{p}_{0}^{\;}）S$
根据玻意耳定律，得：${p}_{0}^{\;}4lS={p}_{2}^{\;}xS$
解得：x=2l
${l}_{1}^{\;}=\frac{l}{3}$
活塞D下降的距离为：$△l=4l-x+{l}_{1}^{\;}=\frac{7}{3}l$
（2）升高温度过程中，气体做等压变化，活塞C的位置不动，最终被封气体的体积为$（4l+{l}_{1}^{\;}）•S$，对最初和最终状态，根据理想气体状态方程得
$\frac{{p}_{0}^{\;}4lS}{27+273}=\frac{{p}_{2}^{\;}（4l+\frac{l}{3}）S}{{t}_{2}^{\;}+273}$
解得：${t}_{2}^{\;}=377℃$
答：（1）稳定后活塞D下降的距离$\frac{7}{3}l$；
（2）改变汽缸内气体的温度使活塞D再回到初位置，则气体的温度应变为377℃

点评 本题考查玻意耳定律的应用及压强的计算，关键要注意首先明确气体发生的什么变化，根据力平衡法求气体的压强，然后才能分析状态参量，由理想气体的状态方程或实验定律进行分析求解，第二问要注意升温过程压强不变，弹簧的形变量不变，活塞C不动．