Question

8．如图所示的真空区域存在着匀强电场与匀强磁场，MN是电场与磁场的分界线，MN与水平成45°角，左侧是水平向右的匀强电场，场强为E，右侧是垂直向里的匀强磁场．水平方向距离MN为L的P点处有三个相同的带正电的离子A、B、C，离子的电场q、质量m，三离子同时从P点以同样大小的速度率v0=$\sqrt{\frac{qEL}{4m}}$向左、向右、向下射出，（不考虑离子之间的相互作用于离子受到的重力作用的影响）．求：
（1）A、B两粒子第一次经过MN的时间差．
（2）经多少时间，C离子在第一次到达MN前离MN最远．
（3）A、B两离子第一次从磁场又回到电场时，都能经过出发点P，则磁场的磁感应强度B为多大．

Answer 1

分析 （1）分析AB在电场中的运动过程，根据动能定理可求得粒子到达MN的速度，再根据运动学规律可求得AB两粒子到达MN所用的时间，从而求出时间差值；
（2）C离子做类平抛运动，将速度和加速度分别向MN和垂直于MN的方向进行分析，当垂直于MN方向上的速度变为零时距离MN最远，根据速度公式可求得离MN最时所用的时间；
（3）粒子在磁场中做圆周运动，再次进入电场时做类平抛运动，根据几何关系和类平抛运动规律即可求得半径大小，再由洛伦兹力充当向心力即可求得磁感应强度的大小．

解答 解：（1）AB粒子到达MN过程中由动能定理可知：
EqL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
粒子在电场中的加速度a=$\frac{Eq}{m}$；
设向右为正方向，则A粒子的初速度为负，则A离子到达MN所需要的时间t_A=$\frac{v-（-{v}_{0}）}{a}$=$\frac{v+{v}_{0}}{a}$
B离子到达MN需要的时间t_B=$\frac{v-{v}_{0}}{a}$
则AB第一次经过MN的时间差△t=t_A-t_B=$\frac{2{v}_{0}}{a}$=$\frac{2\sqrt{\frac{qEL}{4m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\sqrt{\frac{mL}{Eq}}$；
（2）C离子做类平抛运动，运动轨迹如图所示；
将速度和加速度方向均分解为沿MN和垂直于MN方向，当垂直MN方向上的速度为零时，粒子离斜面最远，则有：
0=v₀cos45°-acos45°t
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{\sqrt{\frac{qEL}{4m}}}{\frac{Eq}{m}}$=$\sqrt{\frac{mL}{4Eq}}$；
即C离子在第一次到达MN前离MN最远所用时间为$\sqrt{\frac{mL}{4Eq}}$；
（3）AB粒子进入磁场时的速度v=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
由Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可知：
在磁场中的轨道半径，R=$\frac{mv}{Bq}$
要使AB粒子均能再回到出发点P，则粒子先在磁场中做圆周运动，再进入电场做类平抛运动，运动轨迹如图所示；
根据平抛运动的规律和几何关系可知，
粒子在磁场中转过270°，则可知由MN面上出来时，方向竖直向下，到达P点的时间t=$\frac{R}{v}$
则有：
R=l+$\frac{1}{2}a（\frac{R}{v}）^{2}$
联止以上各式解得：R=3L或R=$\frac{3}{2}L$
解得：B₁=$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$
B₂=$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$
答：（1）A、B两粒子第一次经过MN的时间差为$\sqrt{\frac{mL}{Eq}}$．
（2）经过时间$\sqrt{\frac{mL}{4Eq}}$，C离子在第一次到达MN前离MN最远．
（3）A、B两离子第一次从磁场又回到电场时，都能经过出发点P，则磁场的磁感应强度B为解得：$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$或$\sqrt{\frac{Em}{4Lq}}$

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动规律，要注意明确在磁场中要注意圆心和半径的计算，而在电场中要注意正确利用运动的合成和分解运动的应用，注意在分析最远距离时采用了将速度和加速度均向MN和垂直于MN方向上进行分解的方式．