Question

1．如图所示，水平地面上固定一个内壁光滑的“J”形管ABC，“J”形管在竖直平面内，BC部分是一个半径为R的半圆管道，AB部分是一个长度为2R的直管道，直管道AB垂直于半圆管道的直径BC，直径BC与竖直方向的夹角为θ（0°＜θ≤90°），将一可视为质点的小球从A端由静止沿管道释放，重力加速度为g，求：
（1）当θ取多大角度时，小球在直管道中运动的时间最短，最短时间为多少？
（2）当θ取多大角度时，小球到达C端速度最大，最大速度为多少？

Answer 1

分析 （1）小球从A运动到B做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据位移时间公式求出时间的表达式即可；
（2）先根据几何关系求出A到C的高度差，从A到C的过程中，根据动能定理列式求出C点的速度表达式，再根据数学知识求解最大值．

解答 解：（1）小球从A运动到B做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：
a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ
根据2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{4R}{gsinθ}}$，
当θ=90°时，t最短，最短时间为：${t}_{min}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
（2）根据几何关系可知，A到C的高度差为：h=2Rsinθ+2Rcosθ，
从A到C的过程中，根据动能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（2Rsinθ+2Rcosθ）$
解得：v=$\sqrt{4gR（sinθ+cosθ）}$=$\sqrt{2\sqrt{2}gRsin（θ+45°）}$，
当θ=45°时，v最大，最大为${v}_{m}=\sqrt{2\sqrt{2}gR}$．
答：（1）当θ取90°角度时，小球在直管道中运动的时间最短，最短时间为$\sqrt{\frac{4R}{g}}$；
（2）当θ取45°角度时，小球到达C端速度最大，最大速度为$\sqrt{2\sqrt{2}gR}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、运动学基本公式以及动能定理的直接应用，解题时注意数学知识的应用，难度适中．