Question

16．图中AOB是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角α=1°（为了能看清楚，图中画的是夸大了的）．现将一质点在BOA面内从A处以速度v=5m/s射出，其方向与AO间的夹角θ=60°，OA=10m．设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与OB面及OA面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：
（1）经过几次碰撞质点又回到A处与OA相碰？（计算次数时包括在A处的碰撞）   
（2）共用多少时间？
（3）在这过程中，质点离O点的最短距离是多少？

Answer 1

分析 由于此质点弹性碰撞时的运动轨迹所满足的规律和光的反射定律相同，所以可用类比法通过几何光学的规律进行求解．即可用光在平面镜上反射时，物像关于镜面对称的规律和光路是可逆的规律求解．

解答 解：（1）第一次，第二次碰撞如图12-1-甲所示，由三角形的外角等于不相邻的一两个内角和可知∠MBA=60°+1°=61°，
故第一次碰撞的入射角为90°-61°=29°．
第二次碰撞，∠BCA=61°+1°=62°，故第二次 碰撞的入射角为90°-62°=28°．
…因此，每碰一次，入射角要减少1°，即入射角为29°、28°、…0°，
当入射角为0°时，质点碰后沿原路返回．包括最后在A处的碰撞在内，往返总共60次碰撞．（2）如图12-1-乙所示，从O依次作出与OB边成1°、2°、3°、…的射线，
从对称规律可推知，在AB的延长线上，BC′、C′D′、D′E′…分别和BC、CD、DE…相等，它们和各射线的交角即为各次碰撞的入射角与直角之和．碰撞入射角为0°时，即交角为90°时开始返回．故质点运动的总路程为一锐角为60°的Rt△AMO的较小直角边AM的二倍．即：s=2AM=2AOcos60°=10m
所用总时间：t=$\frac{s}{v}$=$\frac{10}{5}$=2s；
（3）由图可知，碰撞过程中离O的最近距离为另一直角边长OM=AOsin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$m；
答：（1）经过60次碰撞质点又回到A处与OA相碰（计算次数时包括在A处的碰撞）
（2）共用2s时间？
（3）在这过程中，质点离O点的最短距离是5$\sqrt{3}$m

点评 本题考查光的反射规律的应用，要注意能将弹性碰撞过程与光的直线传播相互联系，从而明确小球的运动过程；本题难度较大，需要有较高的分析问题能力．