Question

11．如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直$\frac{1}{4}$圆轨道相切与B点，右端与一倾角为30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接（即物体经过C点时速度的大小不变），斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为2kg的滑块从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点，已知光滑圆轨道的半径R=0.45m，水平轨道BC长为0.4m，其动摩擦因数μ=0.2，光滑斜面轨道上CD长为0.6m，g取10m/s²，求：

（1）滑块第一次经过B点时对轨道的压力
（2）整个过程中弹簧具有最大的弹性势能；
（3）滑块在BC上通过的总路程．

Answer 1

分析 （1）由A到B过程由动能定理可求得B点的速度，再由向心力公式可求得B点的作用力；
（2）对AD过程由动能定理可求得弹簧的弹性势能；
（3）对滑块运动的整个过程，由动能定理列式，可求得在BC上通过的总路程．

解答 解：（1）滑块从A点到B点，由动能定理可得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0，
代入数据解得：v_B=3m/s
滑块在B点，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F=3mg=60N
由牛顿第三定律可得：物块对B点的压力：F′=F=60N；
（2）滑块从A点到D点，该过程弹簧弹力对滑块做的功为W，由动能定理可得：
mgR-μmgL_BC-mgL_CDsin30°+W=0，
其中：E_P=-W，
代入数据解得：E_P=1.4J；
即整个过程中弹簧具有最大的弹性势能为1.4J．
（3）滑块最终停止在水平轨道BC间，设滑块在BC上通过的总路程为s．从滑块第一次经过B点到最终停下来的全过程，由动能定理可得：
-μmgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，
代入数据解得：s=2.25m
答：（1）滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小为60N，方向：竖直向下；
（2）整个过程中弹簧具有最大的弹性势能为1.4J；
（3）滑块在BC上通过的总路程是2.25m．

点评 本题考查动能定理及牛顿第二定律等内容，要注意正确受力分析；对于不涉及时间的问题，可优先选用动能定理．