Question

1．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°，以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，则（sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$；sin53°=$\frac{4}{5}$，cos53°=$\frac{3}{5}$）（　　）

• A． A、B两球所受支持力的大小之比为3：4
• B． A、B两球运动的周期之比为4：3
• C． A、B两球的动能之比为16：9
• D． A、B两球的机械能之比为112：51

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则求出支持力之比，根据牛顿第二定律求出周期、线速度之比．从而得出动能之比．根据高度求出重力势能，从而得出重力势能之比，即可得到机械能之比．

解答 解：A、对任意一球，根据平行四边形定则得：所受的支持力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，θ是小球所在半径与竖直方向的夹角，则得 $\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}$=$\frac{cos37°}{cos53°}$=$\frac{4}{3}$．故A错误．
BC、根据mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，小球的动能为 E_k=$\frac{1}{2}$mv²，联立解得 E_k=$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ，则A、B两球的动能之比 $\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}$=$\frac{tan53°sin53°}{tan37°sin37°}$=$\frac{64}{27}$．
解得，周期为 T=2π$\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}$，则A、B两球运动的周期之比为  $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B、C错误．
D、小球的重力势能为：E_p=mgR（1-cosθ），机械能为：E=E_K+E_P=mgR（1-cosθ）+$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ=mgR（1+$\frac{1}{2}$tanθsinθ-cosθ）；
得：A、B两球的机械能之比为 $\frac{{E}_{A}}{{E}_{B}}$=$\frac{2+tan53°sin53°-2cos53°}{2+tan37°sin37°-2cos37°}$=$\frac{112}{51}$．故D正确．
故选：D

点评 解决本题的关键搞清向心力的来源，运用牛顿第二定律得出线速度、周期的关系式．同时注意能量关系．