Question

2．质量为m的质点在竖直平面xOy直角坐标系的原点O处静止释放，在运动过程中始终受到xOy竖直平面内除重力外的另一外力F作用，该力的大小为F=kv_t，其中k为常系数，v_t为t时刻质点的速率，F方向始终是质点的速度方向逆时针旋转90°，不计其它一切阻力．
（1）在答卷上定性画出质点运动轨迹．
（2）若已知质点在最低点的曲率半径为ρ，则k=$2\sqrt{\frac{{m}^{2}g}{ρ}}$（用m、g、ρ表示）

Answer 1

分析 （1）根据质点受力的特点进行分析即可；
（2）在最低点质点受到的合外力提供向心力，由牛顿第二定律结合一元二次方程的极值即可求出．

解答 解：（1）设质点的质量为m，质点从坐标原点是否后，只受到重力的作用，开始向下运动；向下运动开始后，质点又受到xOy竖直平面内除重力外的另一外力F作用沿逆时针的方向发生偏转．质点在运动的过程中只有重力做功，速度逐渐增大．其中沿竖直方向在最初的一段时间内做加速运动，速度越来越大，则水平方向受到力F的沿水平方向的分力的作用，也越来越大，所以质点的速度越来越大，受到的力F也越来越大，而且随水平方向的分速度的增大，F沿竖直方向的分力增大，所以沿竖直方向质点先做加速度越来越小的加速运动，是正方形的速度最大后，由于重力继续做功，所以质点的速度仍然会增大，所以力F仍然增大，所以力F沿竖直方向的分力仍然增大，则质点沿竖直方向受到的合外力变成向上，质点做加速度越来越大的减速运动，到达最低点时，质点的速度达到最大，受到的力F向上的分力也到达最大，此时合外力的方向仍然向上，质点将向上发生弯曲，向上运动的过程与向下运动的过程有对称性，到达与O等高的点（x轴）后的速度恰好为0．
质点到达x轴后速度为0，由于受到重力的作用，所以仍然开始向下运动，此后的运动与从O点开始的运动相似，所以其轨迹如图；

（2）质点在最低点时受到的合外力的方向向上，由合外力提供向上的向心力，由牛顿第二定律可得：
$F-mg=\frac{m{v}_{t}^{2}}{ρ}$
其中：F=kv_t，
联立可得：k=$2\sqrt{\frac{{m}^{2}g}{ρ}}$
故答案为：（1）如图；（2）$2\sqrt{\frac{{m}^{2}g}{ρ}}$

点评 该题为物理竞赛的题目，在高三的学生可以做，其运动的轨迹如带电粒子在复合场中运动的题目类似，可以将公式F=kv_t，与公式f=qvB比较即可画出质点运动的轨迹．