Question

8．如图，半径R=1m的光滑半圆轨道AC与倾角θ=37°的粗糙斜面轨道BD放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道AB相连，B处用光滑小圆弧平滑连接．在水平轨道上，用挡板把a、b两物块间的轻质弹簧挡住后处于静止状态，物块与弹簧不拴接．只放开左侧挡板，物块a恰好通过半圆轨道最高点C；只放开右侧挡板，物块b恰好能到达斜面轨道最高点D．已知物块a的质量为m₁=2kg，物块b的质量为m₂=1kg，物块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，物块到达A点或B点时已和弹簧分离．重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物块a经过半圆轨道的A点时对轨道的压力F_N；
（2）斜面轨道BD的高度h．

Answer 1

分析 （1）物块a恰好能通过半圆轨道最高点C，由重力充当向心力，由向心力公式可得出小球a在C点的速度，由机械能守恒可得出a球经过A点的速度．在C点，根据合力提供向心力，求轨道对a球的支持力，从而得到a球对轨道的压力F_N．
（2）释放弹簧a被弹出的过程，由机械能守恒可得出弹簧的弹性势能．再对b，由能量守恒定律求斜面轨道BD的高度h．

解答 解：（1）a物块在最高点C时，有 m₁g=m₁$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$  ①
a物块从A点运动到C点过程，由能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}$=2m₁gR+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{C}^{2}$   ②
a物块到达圆轨道A点时，F_支-m₁g=m₁$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ ③
由牛顿第三定律，物块对小球的压力F_N=F_支  ④
由①②③④得，物块对小球的压力 F_N=120N
（2）a物块弹开后运动到A点过程，由系统的机械能守恒得：
弹簧的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}$
对b物块，由能量守恒定律得，E_p=m₂gh+μm₂gcosθ•$\frac{h}{sinθ}$
解得斜面轨道BD的高度 h=3m
答：
（1）物块a经过半圆轨道的A点时对轨道的压力F_N是120N．
（2）斜面轨道BD的高度h是3m．

点评 解决本题的关键：一要明确小球a到达圆轨道最高点的临界条件：重力充当向心力．二要明确有摩擦时往往运用动能定理或能量守恒定律求高度．