Question

7．如图所示，在平面直角坐标系xOy的x轴上方存在着垂直坐标系平面向里的匀强磁场，x轴下方存在着沿x轴正方向的匀强电场．一带正电粒子从y轴上的A点以初速度v₀出发，射入匀强磁场，经磁场偏转后恰好经x轴上的C点垂直x轴进入匀强电场，一段时间后到达y轴上的D点．已知$\overline{OC}$=$\frac{\overline{OA}}{2}$=$\frac{\overline{OD}}{2}$=$\frac{1}{2}$，不计粒子的重力．
（1）求粒子到达D点时的速度大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度大小B与匀强电场的电场强度大小E的比值；
（3）若撤去原来的匀强电场，然后在x轴下方添加一圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小是x轴上方匀强磁感应强度大小的2倍，使带电粒子经过该磁场偏转后刚好也能够通过D点且速度与y轴负方向成θ=60°角，试计算该圆形匀强磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分位移公式列式求解D点的速度；
（2）根据类似平抛运动的分运动规律求解E的大小；进入磁场后做匀速圆周运动，画出运动的轨迹，根据几何关系求出粒子运动的半径，又半径公式即可求出B，最后确定B与E的比值；
（3）画出运动轨迹，结合几何关系，根据粒子运动的半径公式得到圆形磁场的最小面积S；

解答 解：（1）粒子在电场中做类似平抛运动，平行y方向是匀速直线运动，故：$\overline{OD}={v}_{0}{t}_{1}$…①
平行x轴方向的分运动是匀加速直线运动，故：$\overline{OC}=\frac{1}{2}{v}_{x}{t}_{1}$…②
代入数据得：v_x=v₀
所以到达D点的速度：${v}_{D}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$…③
（2）又：$\overline{OC}=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}_{1}^{2}$…④
联立①②④解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{ql}$；
粒子从A点进入磁场，做匀速圆周运动，如图画出运动的轨迹，则：

${R}^{2}={l}^{2}+（R-\frac{l}{2}）^{2}$
所以：R=$\frac{5}{4}l$
洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{5ql}$
所以：$\frac{B}{E}=\frac{\frac{4m{v}_{0}}{5ql}}{\frac{m{v}_{0}^{2}}{ql}}=\frac{4}{5{v}_{0}}$
（3）粒子在x轴下方添加一圆形匀强磁场区域运动时的半径：
r=$\frac{m{v}_{0}}{q•2B}$=$\frac{m{v}_{0}}{2q•\frac{4m{v}_{0}}{5ql}}=\frac{5}{8}l$
过D点且速度与y轴负方向成θ=60°角，轨迹如图所示，圆弧的圆心角为60°：

设此时运动的轨迹与磁场的边缘交于P点和Q点，则当$\overline{PQ}$是圆形磁场的直径时，圆形磁场的面积最小，由几何关系可知，圆形磁场的最小半径：
${r}_{min}=r•sin\frac{60°}{2}=\frac{5l}{8}×\frac{1}{2}=\frac{5l}{16}$
故圆形区域的最小面积为：S=$π{r}_{min}^{2}$=$\frac{25π{l}^{2}}{256}$
答：（1）粒子到达D点时的速度大小是$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B与匀强电场的电场强度大小E的比值是$\frac{4}{5{v}_{0}}$；
（3）该圆形匀强磁场区域的最小面积是$\frac{25π{l}^{2}}{256}$．

点评 本题关键是明确粒子先做类似平抛运动，在做匀速圆周运动，最后离开磁场后做匀速直线运动，要画出运动轨迹，结合几何关系列式分析．
带电粒子在匀强磁场中的运动：
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：（v⊥B），R=$\frac{mv}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$．