Question

7．如图所示，匀强磁场的边界CD和EF相互平行，宽度为d，磁感应强度为B，一带负电粒子垂直磁场方向射入，入射方向与CD边界夹角为θ=$\frac{π}{3}$，已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力．
（1）若粒子垂直边界EF射出磁场，求粒子运动的速率和在磁场中运动的时间；
（2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF相切，则粒子的速率为多大？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系可确定半径的范围，即可求解；
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．

解答 解：（1）若粒子带负电，且恰好能垂直边界EF射出磁场，它运动的轨迹如图1，

则运动的半径：$R=\frac{d}{cosθ}=\frac{d}{cos\frac{π}{3}}=2d$，
运动的过程洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
整理得：$v=\frac{qB•2d}{m}$
周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由图可知，粒子的偏转角是（90°-$\frac{π}{3}$）=30°
所以运动的时间：$t=\frac{30°}{360°}•T=\frac{1}{12}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{6qB}$
（2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF相切，粒子运动的轨迹如图2．

由几何关系可得：${R}_{2}+{R}_{2}•cos\frac{π}{3}=d$
所以：R₂=$\frac{2}{3}d$ ①
由洛仑兹力和向心力公式可得：$qv′B=\frac{m{v′}^{2}}{{R}_{2}}$
所以：$v′=\frac{2qBd}{3m}$
答：（1）若粒子垂直边界EF射出磁场，粒子运动的速率是$\frac{2qBd}{m}$，在磁场中运动的时间是$\frac{πm}{6qB}$；
（2）若粒子运动轨迹恰好与边界EF相切，则粒子的速率为$\frac{2qBd}{3m}$

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹