Question

12．半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v₀，若v₀大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同．下列说法中正确的是（　　）

• A． 如果v₀=$\sqrt{gR}$，则小球能够上升的最大高度等于$\frac{R}{2}$
• B． 如果v₀=$\sqrt{3gR}$，则小球能够上升的最大高度小于$\frac{3R}{2}$
• C． 如果v₀=$\sqrt{4gR}$，则小球能够上升的最大高度等于2R
• D． 如果v₀=$\sqrt{5gR}$，则小球能够上升的最大高度等于2R

Answer 1

分析 先根据机械能守恒定律求出在不同的初速度条件下能上升的最大高度，再根据向心力公式判断在此位置速度能否等于零，即可求解．

解答 解：A、设初速度为v时，小球上升的最大高度恰好等于R，则由机械能守恒定律得 mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，v=$\sqrt{2gR}$
如果v₀=$\sqrt{gR}$＜v，说明小球上升的最大高度小于R，根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh，解得：h=$\frac{R}{2}$，故A正确；
BCD、小球恰好通过圆轨道的最高点时，最高点有 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$．
设小球在最低点的初速度为v₂．从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，联立解得 v₂=$\sqrt{5gR}$．
如果v₀=$\sqrt{3gR}$，则小球在上半圆轨道上离开轨道，离开轨道时速度不为零，设为v″，根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+$\frac{1}{2}mv{″}^{2}$，v″＞0，解得 h＜$\frac{3R}{2}$．
同理，如果v₀=$\sqrt{4gR}$，小球能够上升的最大高度小于2R．
如果v₀=$\sqrt{5gR}$，则小球恰能通过圆轨道最高点，能够上升的最大高度等于2R．故BD正确，C错误．
故选：ABD

点评 本题主要考查了机械能守恒定律在圆周运动中的运用，要判断在竖直方向圆周运动中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．