Question

8．随着时代的不断发展，快递业发展迅猛，大量的快件需要分拣．为了快件的安全，某网友发明了一个缓冲装置，其理想模型如图所示．劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间有恒定的滑动摩擦力作用，轻杆向下移动一定距离后才停下，保证了快件的安全．一质量为m的快件从弹簧上端l处由静止释放，沿斜面下滑后与轻杆相撞，轻杆与槽间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为f=mg，不计快件与斜面间的摩擦．
（1）求快件与弹簧相撞时的速度大小．
（2）若弹簧的劲度系数为k=$\frac{4mg}{l}$，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x₁．
（3）已知弹簧的弹性势能表达式为E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，其中k为劲度系数，x为弹簧的形变量．试求（2）情况下，轻杆向下运动时快件的加速度a，以及轻杆向下移动的最大距离x₂．

Answer 1

分析 （1）快件向下运动的过程中机械能守恒，由此即可求出快件与弹簧相撞时的速度大小；
（2）轻杆开始移动时，根据胡克定律求出弹簧的压缩量；
（3）根据牛顿第二定律求出快件的加速度；则快件开始运动到杆刚刚开始运动的过程中，重力和弹簧的弹力做功，对快件由动能定理快件的速度；快件从撞击到停止的过程中由运动学列出等式求解．

解答 解：（1）由于不计快件与斜面间的摩擦，所以快件向下运动的过程中机械能守恒，得：
$mglsinθ=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$  ①
所以：v₁=$\sqrt{2glsin30°}$=$\sqrt{gl}$
（2）轻杆开始移动时，弹簧的弹力F=kx₁ ②
且F=f=mg ③
解得 x₁=$\frac{f}{k}$=$\frac{mg}{\frac{4mg}{l}}=\frac{l}{4}$
（3）轻杆开始移动时，弹簧的弹力F=kx=$\frac{4mg}{l}×\frac{l}{4}=mg$  ④
沿斜面的方向，选取向下为正方向，由牛顿第二定律得：ma=mgsinθ-F   ⑤
联立④⑤得：a=$-\frac{1}{2}g$
负号表示方向向上．
设杆移动前快件对弹簧所做的功为W，则快件开始运动到杆刚刚开始运动的过程中，对快件由动能定理得：
$mg（l+{x}_{1}）•sinθ-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$    ⑥
由于快件对弹簧所做的功为W转化为弹簧的弹性势能，即：W=E_p=$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$   ⑦
联立得：$v=\sqrt{gl}$
快件向下做减速运动，有运动学的公式得：$2a{x}_{2}=0-{v}^{2}$
所以：${x}_{2}=\frac{{v}^{2}}{-2a}=l$
答：（1）求快件与弹簧相撞时的速度大小是$\sqrt{gl}$．
（2）若弹簧的劲度系数为k=$\frac{4mg}{l}$，轻杆开始移动时，弹簧的压缩量是$\frac{l}{4}$．
（3）已知弹簧的弹性势能表达式为E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，其中k为劲度系数，x为弹簧的形变量．在（2）情况下，轻杆向下运动时快件的加速度大小是$\frac{1}{2}g$，方向向上，轻杆向下移动的最大距离x₂是l．

点评 正缓冲装置是一种实用装置，在生产和生活中有着广泛的应用，本题就是根据某种缓冲装置改编的一道物理试题，试题设计新颖，物理思想深刻．正确解答这道试题，要求考生具有扎实的高中物理基础以及很强的分析和解决问题的能力．