Question

4．如图，在xOy平面内，MN和x轴之间有平行于y轴的匀强电场和垂直于xOy平面的匀强磁场，y轴上离坐标原点4L的A点处有一电子枪，可以沿+x方向射出速度为v₀的电子（质量为m，电量为e）．如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动．如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场．不计重力的影响，求：
（1）磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；
（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出）离开电场，求D点的坐标；
（3）电子通过D点时的动能．

Answer 1

分析 （1）只有磁场时，电子做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度； 同时存在磁场与电场时，粒子做匀速直线运动，由共点力的平衡可求得电场强度；
（2）撤去磁场时，电子做类平抛运动，由运动的合成与分解可求得纵坐标；
（3）由于只有电场力做功，由动能定理可求得电子通过D点的动能．

解答 解：（1）只有磁场时，电子运动轨迹如图1所示．
根据洛仑兹力提供向心力，得 Bev₀=m$\frac{v_0^2}{R}$
由几何关系 R²=（3L）²+（4L-R）²
求出 B=$\frac{{8m{v_0}}}{25eL}$，方向垂直纸面向里．
电子做匀速直线运动Ee=Bev₀
则得 E=$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{25eL}$，方向沿y轴负方向
（2）只有电场时，电子从MN上的D点离开电场，如图2所示
设D点横坐标为x，则
 x=v₀t
 2L=$\frac{1}{2}×\frac{eE}{m}{t^2}$
求出D点的横坐标为 x=$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$L≈3.5L
纵坐标为 y=6L
（3）从A点到D点，由动能定理  Ee•2L=E_kD-$\frac{1}{2}$mv₀²
求出 E_kD=$\frac{57}{50}$mv₀²．
答：
（1）磁感应强度为$\frac{{8m{v_0}}}{25eL}$，方向垂直纸面向里，电场强度为$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{25eL}$，方向沿y轴负方向；
（2）D点的横坐标为3.5L； 纵坐标为6L；
（3）电子到达D点的动能为$\frac{57}{50}$mv₀²．

点评 带电粒子在混合场中的运动是有规律可循的，垂直进入磁场时粒子做匀速圆周运动，垂直进入电场时做平抛运动；若做匀速直线运动，则一定受力平衡．