Question

4．电磁弹射是采用电磁的能量来推动被弹射物体向外运动的新型技术，是我国最新研究的重大科技成果．其工作原理可简化为下述模型．如图所示，一为长为L=1m、电阻为R=2Ω的正方形单匝金属线框abcd放在绝缘的光滑水平面上，线框所在处存在一个竖直向上的匀强磁场，虚线MN为磁场的左边界，线框的ab边处在磁场外侧紧靠MN处．t=0时起磁感应强度B随时间t的变化规律是B=2+0.4t（T），空气阻力忽略不计．试求：
（1）t=0时刻，线框中产生磁感应电流的大小和方向；
（2）线框在磁场力的作用下从磁场中穿出的过程中，通过导线截面的电荷量q；
（3）若用相同的金属线绕制相同大小的n匝线框，在线框上固定一负载物，证明：载物线框匝数越多，t=0时刻线框加速度越大．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律及闭合电路欧姆定律，即可求解；
（2）由法拉第电磁感应定律求得平均电动势，及闭合电路欧姆定律，电量表达式，从而即可求解；
（3）根据感应电动势与感应电流值，依据安培力表达式，及牛顿第二定律，即可证明．

解答 解：（1）t=0时刻线框中的感应电动势$E=\frac{△B}{△t}{L}_{\;}^{2}=0.4×{1}_{\;}^{2}=0.4V$
感应电流的大小$I=\frac{E}{R}=\frac{0.4}{2}A=0.2A$
根据楞次定律，感应电流为顺时针方向
（2）穿出过程线框中的平均电动势$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
线框中的电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
$△Φ=|0-{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}|={B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}$
通过的电量：$q=\overline{I}△t=\frac{△Φ}{R}$=$\frac{{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{R}=\frac{2×{1}_{\;}^{2}}{2}=1C$
（3）n匝线框中t=0时刻产生的感应电动势E=n$\frac{△Φ}{△t}$
线框的总电阻R_总=nR                          
线框中的电流$\frac{E}{{R}_{总}^{\;}}$
t=0时刻线框受到的安培力F=nB₀IL
设线框的加速度为a，根据牛顿第二定律有F=（nm+M）a
解得$a=\frac{k{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$可知，n越大，a越大．    
答：（1）线框中感应电流大小0.2A，方向顺时针方向
（2）通过导线截面电荷量1C
（3）根据$a=\frac{k{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$可知，n越大，a越大．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的内容，掌握动能定理与牛顿第二定律的应用，理解电量的综合表达式的推导，注意安培力大小与匝数有关．