Question

15．我国已经进入全面的天空活动中，2016年10月19日，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，再次引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示．已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为g_月，引力常量为G．试求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的第一宇宙速度v₁；
（3）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h．

Answer 1

分析 （1）根据月球表面物体重力等于万有引力求出月球的质量M；
（2）根据万有引力提供向心力求第一宇宙速度；
（3）根据万有引力提供向心力列式，由题意求出周期，联列即可求解；

解答 解：（1）表面处引力等于重力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}$
得：$M=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度为近地卫星运行速度，由万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度为：
${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$
（3）卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}r$，
卫星周期为：$T=\frac{t}{n}$
轨道半径r=R+h，解得：$h=\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{n}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}}-R$
答：（1）月球的质量M为$\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）月球的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$为$\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$；
（3）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h为$\root{3}{\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{4{n}_{\;}^{2}{π}_{\;}^{2}}}-R$

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．