Question

12．如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一倾角θ=37°的光滑绝缘斜面上，导轨间距L，导轨电阻忽略不计且足够长，一宽度为d的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为B．另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d（d＜L）的正方形线框连在一起组成的固定装置，总质量为m，导体棒中通有大小恒为I的电流，将整个装置置于导轨上．开始时导体棒恰好位于磁场的下边界处，由静止释放后装置沿斜面向上运动，当线框的下边运动到磁场的上边界MN处时装置的速度恰好为零，之后装置将向下运动，然后再向上运动，经过若干次往返后，最终整个装置将在斜面上作稳定的往复运动．已知B=2.5T，I=0.8A，L=0.5m，m=0.04kg，d=0.38m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）装置被释放的瞬间，导线棒加速度的大小；
（2）从装置被释放到线框下边运动到磁场上边界MN处的过程中，线框中产生的热量；
（3）装置作稳定的往复运动后，导体棒的最高位置与最低位置之间的距离．

Answer 1

分析 （1）根据装置的受力情况，由牛顿第二定律求加速度的大小．
（2）在运动过程中装置的动能变化量为零，根据动能定理求出克服安培力做功，即可得到产生的热量．
（3）稳定后，装置运动到最高位置与最低位置的速度，由动能定理可求得最低位置时金属棒距离上边界的距离．装置往复运动的最高位置：线框的上边位于磁场的下边界，此时导体棒距磁场上边界d，可得装置运动的最高位置与最低位置之间的距离为x+d．

解答 解：（1）装置被释放的瞬间，由牛顿第二定律得：
ma=BIL-mgsinθ
代入数据解得：$a=\frac{BIL}{m}-gsinθ=19m/{s^2}$
（2）设装置由静止释放到线框下边运动到磁场上边界的过程中，线框克服感应电流所受安培力做功为W，根据动能定理有：
BILd-mgsinθ•4d-W=0-0
代入数据解得：W=BILd-4dmgsinθ=0.0152J
故热量为：Q=W=0.0152J
（3）装置往复运动后，线框的上边到达磁场的下边将不再向上运动，导体棒的最高位置距磁场上边界为d，导体棒的最低位置在磁场内，设距离上边界为x，有：mgsinθ•（x+d）=BIL•x
代入数据解得：$x=\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}=0.12m$
即：x+d=0.12m+0.38m=0.5m
答：（1）装置被释放的瞬间，导线棒加速度的大小是19m/s²；
（2）从装置被释放到线框下边运动到磁场上边界MN处的过程中，线框中产生的热量是0.0152J；
（3）装置作稳定的往复运动后，导体棒的最高位置与最低位置之间的距离是0.5m．

点评 当线框产生感应电流时，由安培力做功从而产生热量．因安培力不恒定，所以运用动能定理求安培力做功从而得产生的热量，也可利用能量守恒定律解题．