Question

1．如图所示，某种材料做成的一个半径为R、底边MN为直径的透明半圆柱体，一束红光从距离底边$\frac{\sqrt{2}}{2}$R的A点平行于底边射入玻璃砖，经过底边反射后从距离底边$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}R$的B点射出，试分析该玻璃的折射率为$\sqrt{3}$+1，无（填“有”或“无”）光线从MN边射出，从B点射出的光线与水平方向所成锐角是60度．（已知sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 根据几何知识求出光线在A点的入射角和折射角，从而求得折射率．根据光线在MN上的入射角和全反射临界的关系，分析是否有光线从MN边射出．由折射定律和几何关系求解从B点射出的光线与水平方向所成锐角的大小．

解答 解：如图，由sini=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，i=45°．sin∠BCF=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，得∠BCF=15°
光线在D点发生反射，根据反射定律和几何知识可知，△AED∽△BFD
有 $\frac{ED}{DF}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}R}$
又 ED+DF=Rcos45°+Rcos15°
联立解得 ED=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，DF=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$R
则tan∠DAE=$\frac{ED}{AE}$=$\sqrt{3}$
即tan（45°+r）=$\sqrt{3}$
解得 tanr=15°
则折射率 n=$\frac{sini}{sinr}$=$\frac{sin45°}{sin15°}$=$\sqrt{3}$+1
tan∠BDF=$\frac{BF}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得∠BDF=30°
则得 i′=∠BDF-∠BCF=15°
由$\frac{sinr′}{sini′}$=n，解得 r′=45°
所以B点射出的光线与水平方向所成锐角r′+15°=60°
故答案为：$\sqrt{3}$+1，无，60．

点评 本题的解题关键是作出光路图，运用几何知识找出边长或角度之间的关系，结合折射定律研究．