Question

2．如图矩形区域abcd为有界匀强电场、匀强磁场的边界，bd对角线为电场和磁场的分界线，且与bc边夹角为60°，bc=5m，电场强度为E=6.0×10⁴N/C．在bc边界上P点有一放射源，在纸面所在的平面内向磁场中的各个方向发射质量为m=1.0×10^-20kg、电荷量为q=1.0×10^-12C的正电粒子，粒子的发射速度相等，bP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$m，已知射入电场的粒子在磁场中运动的最长时间为π×10^-6s，并且其轨迹恰好与bd相切．求：
（1）匀强磁场的磁感应强度及粒子的速度大小；
（2）射入电场的粒子在磁场中运动的最短时间；
（3）在（2）问前提下，粒子射出电场的位置．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力提供向心力，得出粒子运动的半径公式和周期公式，结合粒子在磁场中运动时间最长的时间条件，即可求出磁感应强度，然后由几何关系即可求出速度；
（2）然后由几何关系找出时间最短的条件即可求出时间；
（3）粒子进入电场后做类平抛运动，结合几何关系即可求出．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知，粒子的初速度的方向向右，并且刚好与bd边相切时，射入电场的粒子运动的时间最长，如图：

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：r=$\frac{mv}{qB}$
$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
已知射入电场的粒子在磁场中运动的最长时间为π×10^-6s，则：t=T
代入数据得：B=0.02T
粒子的半径：$r=\overline{bp}•tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{3}$m
由半径公式可得：$v=\frac{qBr}{m}=\frac{1.0×1{0}^{-12}×0.02×\frac{4}{3}}{1×1{0}^{-20}}=\frac{8}{3}×1{0}^{6}$m/s
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当粒子运动的轨迹的弦长为P到bd之间的距离时，弦长最短，粒子的偏转角可以最小，轨迹如图：

$\overline{pM}=\overline{bp}•sin60°=\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=2$m
设此时的偏转角为α：$sin\frac{α}{2}=\frac{\overline{pM}}{2r}=\frac{2}{2×\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$
所以：α=98°
粒子运动的最短时间：${t}_{min}=\frac{98°}{360°}×t≈1.28×1{0}^{-6}$s
（3）当偏转角是α=98°时的时间最短，由几何关系可知，此时入射方向与bc之间的夹角是101°，则粒子偏转后，与水平方向之间的夹角是：
101°+98°-180°=19°，如图
粒子沿水平方向的分速度：v_x=v•cos19°=$\frac{8}{3}×1{0}^{6}×0.9455=2.52×1{0}^{6}$m/s
$\overline{bM}=\overline{bp}cos60°=\frac{2\sqrt{3}}{3}$m
粒子穿过电场的时间：$t′=\frac{\overline{bM}sin30°}{{v}_{x}}=2.29×1{0}^{-7}$s
粒子在电场中的加速度：$a=\frac{qE}{m}=\frac{1.0×1{0}^{-12}×6×1{0}^{4}}{1.0×1{0}^{-20}}=6×1{0}^{12}$m/s²
粒子沿竖直方向的分速度：${v}_{y}=v•sin19°=\frac{8}{3}×1{0}^{6}×0.3255=8.68×1{0}^{5}$m/s
粒子在竖直方向的位移：$y={v}_{y}t′-\frac{1}{2}at{′}^{2}$=4.14×10^-2m
射出点的位移：${y}_{0}=\overline{bM}cos30°-y=1-4.14×1{0}^{-2}≈0.96$m
答：（1）匀强磁场的磁感应强度是0.0T，粒子的速度大小$\frac{8}{3}×1{0}^{6}$m/s；
（2）射入电场的粒子在磁场中运动的最短时间是1.28×10^-6s；
（3）在（2）问前提下，粒子射出电场的位置是在b点上方0.96m处．

点评 本题考查带电粒子在电场中的偏转与带电粒子在磁场中的运动，应注意题意中给出的条件；同时要注意带电粒子在磁场中的偏转类题目一定要画出运动轨迹，在轨迹中寻找相关的几何关系．