Question

（2013?德州二模）如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有个以点（3L，0）为圆心，半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为ec的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后恰能从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°，电子从M点射入的瞬间在圆形区域加如图乙所示周期性变化的磁场（磁场从t=0时刻开始变化，且以垂直于纸面向外为正方向），电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴夹角也为30°．求：

（1）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小；
（2）A点的纵坐标y_A；
（3）磁场的磁感应强度B．的可能值及磁场的变化周期T．

Answer 1

分析：（1）电子在电场中作类平抛运动，离开电场时电子的速度方向与x轴夹角30°，得到竖直方向分速度v_y．运用运动的分解法研究可知：电子竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，水平方向做匀速直线运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合可求出匀强电场的场强大小；
（2）电子在电场中运动过程，由位移公式求得竖直方向的侧移，电子飞出电场到M点的过程中做匀速直线运动，由几何关系得到A点的纵坐标y_A；
（3）先根据电子刚飞出时速度的分解，求出电子进入磁场时的速度．电子进入磁场后做匀速圆周运动，画出轨迹，根据几何知识求出轨迹半径的通项，由牛顿第二定律和圆周运动规律结合求解磁感应强度B的可能值及磁场的变化周期T．

解答： 解：（1）电子在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示，由速度关系得：由速度关系解得v_y=v₀tan30°
  水平方向：L=v₀t
  竖直方向：v_y=

eE

m

t
联立解得，E=

3 m v 2 0

3eL

（2）电子在电场中做类平抛运动过程，
  y₁=

1

2

?

eE

m

t2
电子飞出电场运动到M的过程中做匀速直线运动，则
  y₂=Ltan30°
故A点的纵坐标y_A=y₁+y₂=

3

2

L
（3）电子进入磁场时的速度为
   v=

v0

cos30°

=

2 3

3

v0
电子在磁场中运动的轨迹如图乙所示，则几何知识得
  （2n+1）R=2L（n=0，1，2，…）
电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
  evB₀=m

v2

R

解得，B₀=

(2n+1) 3 mv0

3eL

（n=0，1，2，…）
电子在磁场中运动的周期为 T′=

2πm

eB0

由题意得：

T

2

=

T′

6

解得，T=

2 3 πL

3(2n+1)v0

（n=0，1，2，…）
解：（1）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是

3 m v 2 0

3eL

；
（2）A点的纵坐标y_A是

3

2

L；
（3）磁场的磁感应强度B的可能值

(2n+1) 3 mv0

3eL

（n=0，1，2，…），磁场的变化周期T为

2 3 πL

3(2n+1)v0

（n=0，1，2，…）．

点评：本题关键是：电场中将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；磁场中，要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要抓住周期性，根据几何关系求解电子的半径满足的条件．