Question

1．某人造卫星围绕地球做圆周运动，该卫星运动的周期为T，设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G．
求：（1）该卫星离地面的高度？
（2）该卫星运行的线速度大小为多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力和万有引力提供向心力，列出方程计算卫星离地面的高度．
（2）根据线速度与轨道半径和周期的关系，代入数据化简即可．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$，解得$h=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g
所以$h=\root{3}{\frac{{R}^{2}g{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（2）根据v=$\frac{2π}{T}（R+h）$=$\frac{2π}{T}\root{3}{\frac{{R}^{2}g{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2π{R}^{2}g}{T}}$
答：（1）该卫星离地面的高度为$\root{3}{\frac{{R}^{2}g{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（2）该卫星运行的线速度大小为$\root{3}{\frac{2π{R}^{2}g}{T}}$．

点评 本题要掌握卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，要知道忽略地球自转时，在地球表面上物体受到的重力等于万有引力．