Question

5．如图所示，一个带正电微粒的质量为m=1×10^-7千克，q=1×10^-8C，以V=4m/s的速度，从A点水平向右进入虚线左侧足够大相互垂直的匀强磁场中，磁场为水平方向且垂直纸面向里，其磁感应强度为B，电场强度E₁=100N/C，方向竖直向上，而后从P点进入虚线右侧，虚线右侧只有竖直面内的足够大的匀强电场，大小E₂=60N/C，方向与刚进入的微粒的速度方向垂直且斜向左上方，经过一段时间后到达虚线的Q点，A点和P点的水平距离为X=2.0米，竖直距离Y=1.0米．求：
（1）B的大小
（2）从微粒第一次运动到P开始计时至到达Q点所用的时间t
（3）PQ间的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子在虚线左侧，电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，结合半径公式以及几何关系求出磁感应强度的大小．
（2）粒子出复合场后，受重力和电场力作用，合力方向与速度方向相反，做匀变速直线运动，结合运动学公式和牛顿第二定律求出在右侧运动的时间，返回进入复合场后做圆周运动，根据几何关系求出圆心角，结合周期公式求出在复合场中运动的时间，从而得出从微粒第一次运动到P开始计时至到达Q点所用的时间t．
（3）根据几何关系，结合粒子在复合场中运动的半径求出PQ间的距离．

解答 解：（1）粒子在虚线左侧复合场中，qE₁=mg，靠洛伦兹力提供向心力，
有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
根据几何关系知，r²=X²+（r-Y）²，
解得粒子在复合场中做圆周运动的半径r=2.5m，
则B=$\frac{mv}{qr}=\frac{1×1{0}^{-7}×4}{1×1{0}^{-8}×2.5}T=16T$．
（2）由（1）可求出$tanθ=\frac{3}{4}$，θ=37°，
进入虚线右侧后受电场力qE₂和重力作用，如图所示，根据平行四边形定则知，${F}_{合}=8×1{0}^{-7}N$，方向与P点速度方向相反．
粒子从P点进入E₂电场后回到P点的时间${t}_{1}=\frac{2v}{a}=\frac{2v}{\frac{{F}_{合}}{m}}=\frac{2×4}{\frac{8×1{0}^{-7}}{1×1{0}^{-7}}}s=1s$．
从P点返回磁场后轨道半径r=2.5m，由几何关系知识得，轨迹对应的圆心角为2θ=74°，则在磁场中运行的时间${t}_{2}=\frac{2θ}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2θm}{qB}$=0.8s．
粒子从P到Q的时间t=t₁+t₂=1+0.8s=1.8s．
（3）根据几何关系得，PQ=2Rsinθ=2×2.5×0.6m=3m．
答：（1）B的大小为16T．
（2）从微粒第一次运动到P开始计时至到达Q点所用的时间t为1.8s．
（3）PQ间的距离为3m．

点评 本题考查了粒子在复合场中的运动，关键作出粒子的运动轨迹，结合半径公式、周期公式，运用几何关系进行求解，难度中等．