Question

5．一个飞行器在万有引力的作用下贴近某行星表面附近飞行，其线速度大小为v，运动的周期为T，已知万有引力常量为G，则可得（　　）

• A． 该行星的平均密度为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• B． 该行星的半径为$\frac{vT}{2π}$
• C． 该行星表面的重力加速度为$\frac{2πv}{T}$
• D． 无法得出该行星的质量

Answer 1

分析 研究飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，根据根据万有引力提供向心力，列出等式表示出行星的质量．飞船的质量无法求出，飞船是环绕天体，根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}$可以求出密度．

解答 解：宇宙飞船的线速度$v=\frac{2πR}{T}$，行星半径R=$\frac{vT}{2π}$．
设行星质量为M，行星的半径为R，飞船的质量为m，根据题意宇宙飞船在一个不知名的行星表面附近的圆形轨道飞行，轨道半径r等于行星的半径R
根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{v}^{3}T}{2πG}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故可以求出该行星的平均密度；
又：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，所以：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$=$\frac{2πv}{T}$．由以上方向可知，ABC正确．
故选：ABC

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．在行星表面运动，轨道半径可以认为就是行星的半径．