Question

17．如图所示，位于竖直平面内的轨道，由一段斜的直轨道AB和光滑半圆形轨道BC平滑连接而成，AB的倾角为30°，半圆形轨道的半径．R=0.1m，直径BC竖直．质量m=1kg的小物块从斜轨道上距半圆形轨道底部高为h处由静止开始下滑，经B点滑上半圆形轨道．己知物块与斜轨道间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g取g=10m/s²．
（1）若h=1m，求物块运动到圆轨道最低点B时对轨道的压力；
（2）若物块能到达圆轨道的最高点C，求h的最小值；
（3）试求物块经最高点C时对轨道压力F随高度h的变化关系，并在图示坐标系中作出F-h图象．

Answer 1

分析 （1）对于物块在斜面下滑的过程，由机动能定理即可求得物体通过B点时的速度，物块经过B点时，由轨道的支持力和重力的合力充当向心力，由牛顿运动定律求物块对轨道的压力；
（2）物块恰好通过圆轨道的最高点C时由重力提供向心力，此时h最小．由牛顿第二定律求出C点的最小速度，再由动能定理求解h的最小值．
（3）根据动能定理和向心力公式结合得到F与h的表达式，再画出F-h图象．

解答 解：（1）设物块运动圆轨道最低点B时速度大小为v，所受的支持力为N．
根据动能定理有：mgh-μmgcos30°•$\frac{h}{sin30°}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
在B点，根据牛顿第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据，解得 N=110N
根据牛顿第三定律知，物块对轨道的压力大小为110N，方向竖直向下．
（2）设物块恰好能到达圆轨道的最高点C，此时对应的高度为h_min，C点的速度为v₀．
根据动能定理有：mgh_min-μmgcos30°•$\frac{{h}_{min}}{sin30°}$-2mgR=-0
经最高点C时，根据向心力公式有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入数据，解得 h_min=0.5m
（3）设物块到达圆轨道最高点时的速度为v，轨道对物块的弹力大小为F_N．
根据动能定理有：mgh-μmgcos30°•$\frac{h}{sin30°}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
经最高点C，根据向心力公式有：F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 F_N=100h-50（N）（h≥0.5m）
则压力 F=F_N=100h-50（N）（h≥0.5m），作出F-h图象如图．
答：
（1）物块运动到圆轨道最低点B时对轨道的压力是110N；
（2）若物块能到达圆轨道的最高点C，h的最小值是0.5m；
（3）作出F-h图象如图．

点评 本题是牛顿运动定律与动能定理的综合应用，解决本题的关键分析物体的受力情况，确定圆周运动的向心力，运用函数法得出压力F与h的关系式．