有一空间范围足够大的匀强电场.电场方向未知.其电场线与坐标xOy平面平行.以坐标原点O为圆心.作半径为R的圆交坐标轴于A.B.C.D四点.如图所示.圆周上任意一点P的电势的表达式为φ = kRsin2θ + b.式中θ为弦AP与x轴的夹角.k.b均为已知常量.且有k > 0和b > 0.在A点有放射源.能不断的沿x轴方向释放出质量为m.电量为q的带正电粒子.粒子� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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有一空间范围足够大的匀强电场，电场方向未知，其电场线与坐标xOy平面平行。以坐标原点O为圆心，作半径为R的圆交坐标轴于A、B、C、D四点，如图所示。圆周上任意一点P的电势的表达式为φ = kRsin2θ + b，式中θ为弦AP与x轴的夹角，k、b均为已知常量，且有k > 0和b > 0。在A点有放射源，能不断的沿x轴方向释放出质量为m，电量为q的带正电粒子，粒子的初速度大小介于v₀~2v₀之间，不计粒子的重力。

（1）求该匀强电场的场强大小、方向。

（2）若已知速度大小为v₀的粒子恰好从图中C点射出该圆，则所有粒子将从圆周上哪一范围射出？（不一定要求解出具体数据，可用关系式表达结果）

（3）现在该区域加一空间范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直于坐标平面，使速度大小为v₀的粒子恰好从图中B点射出该圆，则所有粒子在运动过程偏离 x 轴的最大距离为多大？

【解析】（1）根据题设条件φ = kRsin2θ + b 得，

当θ取0°时，即得B点的电势为φ_B =b；（1分）

当θ=90°时，即得A点的电势为φ_A = b；（1分）

当θ=45°时，即得D点的电势为φ_D = kR + b；（1分）

即得AB是两等势点，x轴是一等势线，电场强度方向沿y轴正方向，场强大小为

E = = = k。（3分）

（2）设粒子在圆周上射出点Q和圆心O的连线跟x轴的夹角为α，根据带电粒子在电场中的偏转规律，初速度为2v₀的粒子α最大。

已知速度大小为v₀的粒子恰好从图中C点射出该圆，则有

R= v₀t₁，R =at₁² 及a = = ，（3分）

粒子初速度为2v₀时有

R + Rcosα = 2v₀t₂，Rsinα =at₂²，（2分）

联立以上各式可得： 4sinα = (1+cosα)²。

所以射出范围的边界点Q和圆心O的连线跟x轴的夹角α满足关系：4sinα = (1+cosα)²。（3分）

（3）加匀强磁场后，速度大小为v₀的粒子恰好从图中B点射出，则有

Bq v₀ = Eq = kq，（2分）

初速度大小为2v₀的粒子在运动过程将偏离 x 轴的距离最大，设其为y_m。

将初速度2v₀分解为两个同向等大的分速度v₀，因为有Bq v₀ = Eq = kq，则该粒子在电磁场中的运动可视为以下二个分运动的合成：一是，以速度v₀沿 x轴正方向的匀速直线运动，二是，以速度v₀在坐标xOy平面做匀速圆周运动。

设圆周运动的半径为r，则有：

y_m = 2r，（2分）

Bq v₀ = ，（2分）

联立得：偏离 x 轴的最大距离为 y_m = 。（2分）

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