Question

如图所示，质量分别为m和M的滑块A和B静止于光滑的水平台面上，A和B之间夹有一轻质弹簧（A、B与弹簧不连接），弹簧处于被压缩状态，有一轻质绳连接着A和B。水平台面左端连接着一半径为R=0.2m的光滑圆轨道PQ，右端为一倾角为37°的足够长的斜面CD，滑块B与斜面CD间的动摩擦因数为。烧断两滑块间的轻质绳后，由于弹簧弹力的作用，滑块A将沿圆轨道做圆周运动，且在最高点P轨道对滑块的压力恰好等于滑块的重力。已知两滑块的质量之比为，重力加速度g=10m/s².求：

（1）烧断细绳，弹簧恢复原长时两滑块的速度大小；

（2）滑块B将沿斜面上滑，且从斜面底端C开始经过t=0.5s，恰好经过D点，求CD的长度。

Answer 1

（1），（2）

解析:

（1）设弹簧恢复原长时A、B两滑块的速率分别为和，滑块A到达圆轨道最高点时的速率为

滑块A在最高点，轨道对其的压力恰好与其重力相等

                       ①     （2分）

滑块A在光滑圆轨道上运动过程中机械能守恒，所以有

          ②    （2分）

烧断细绳后，A、B两滑块在弹簧弹力作用下运动过程中动量守恒，且二者运动速度方向相反，所以有：

                   ③    （2分）

由题给条件有：

                    ④   （1分）

联立以上各式求解得：，    （3分）

（2）滑块B在C点时的速度：

滑块沿CD段向上运动时做匀减速度直线运动至静止，设其加速度大小为，发生的位移大小为，所用时间为，则有

        ⑤           （1分）

                             ⑥           （1分）

                               ⑦            （1分）

联立以上三式求解得：，，   （1分）

返回时做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度大小为，运动时间为，位移为，则有

                ⑧               （1分）

                              ⑨                （1分）

                             ⑩                （1分）

联立以上三式代数求解得：                       （1分）

所有CD的长度为：                      （1分）

说明：用其它方法计算，只要正确，同样给分