Question

18．（1）一物体静止在某半径为R的球形天体表面的赤道上，若当该天体的自转周期为T时，物体对天体表面的压力恰好为零，已知引力常量为G，试求该天体的质量
（2）对于第（1）问中天体，若该天体的自转周期为2$\sqrt{2}$T，试求该天体同步卫星离地面是距离．

Answer 1

分析 （1）天体对物体的万有引力恰好提供物体随天体自转的向心力，根据周期与半径求得天体的质量M；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得同步卫星的轨道半径从而求得距天体的地面的距离．

解答 解：（1）由题意知，天体对物体的万有引力提供物体随天体自转的向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得天体质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）天体对同步卫星的万有引力提供同步卫星绕天体运动的向心力，令同步卫星距地面的高度为h，则同卫星的轨道半径r=R+h则有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
即：$\frac{GmM}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{（2\sqrt{2}T）^{2}}$
可得h=$\root{3}{\frac{GM（2\sqrt{2}T）^{2}}{4{π}^{2}}}$-R=$\root{3}{\frac{G\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}×8{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=R
答：（1）天体的质量为$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；（2）该天体同步卫星离地面的距离是R．

点评 万有引力提供圆周运动向心力是解决本题关键突破口，注意轨道半径与卫星距地面高度的不同．