Question

6．如图所示，MIN、PGQ是相距d=1m且足够长的平行光滑金属导轨，MI、PG导轨弯曲，I、G后轨道已经水平，在MP的右侧区域内有磁感应强度大小为B₁=0.25T，方向竖直向上的匀强磁场中，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，由静止开始下滑，且始终与导轨接触良好；MN、PQ的上端连接左侧电路，其中OA是质量不计的导电杆，A端固定一个质量m=0.1kg金属小球，球保持与半径R=1m的导电球面接触，杆的另一端固定在球心O处，并且杆可以无摩擦地沿任何方向转动，开始时小球静止在最低点，MP左侧的整个装置放在B₂=$\frac{\sqrt{5}}{3}$T，方向竖直向上的匀强磁场中，设在释放ab的同时给杆OA一个轻微的扰动，重力加速度取g=10m/s²，问：
（1）试描述释放ab后，金属小球如何运动？
（2）如果导电轻杆OA转动时与竖直线之间的夹角稳定为α=60°，金属棒ab速度v大小是多少？

Answer 1

分析 （1）杆ab释放后，有右手定则可知产生由b到a的电流，则金属杆OA受垂直杆方向的安培力，对杆受力分析确定杆的运动进而确定小球的运动
（2）根据小球做匀速圆周运动，求得小球的速度，进而求得OA杆的速度，运动稳定，则电路中电流恒定，结合电磁感应OA杆的动生电动势与ab杆的感生电动势相等，即可求解．

解答 解：（1）杆ab释放后，有右手定则可知产生由b到a的电流，通过金属杆OA的电流由A到O，对金属杆受力分析如图：则小球在杆的作用下，先向右运动，由于安培力和杆始终垂直，故下一时刻，杆受力变为：，在安培力的作用下开始转动，对小球受力分析：给小球一个扰动，小球会做水平方向上做匀速圆周运动，小球先向右摆动再在水平面上做圆周运动．
（2）由（1）知：导电轻杆OA转动时与竖直线之间的夹角稳定为α=60°，对小球即：mgtan60°=$m\frac{{v}_{线}^{2}}{R}$，R=Lsin60°解得：v_线=$\sqrt{gRtan60°}=\sqrt{10×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}=\sqrt{15}$m/s，
导电轻杆OA转动的速度为；$\frac{{v}_{线}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$m/s．导电轻杆OA转动时与竖直线之间的夹角稳定为α=60°，故回路中感应电流为零，故导电轻杆OA产生的电动势与ab棒运动中的电动势相同，即：${B}_{2}sin60°L\frac{{v}_{线}}{2}={B}_{1}Lv$，
代入数据得：$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1×\frac{\sqrt{15}}{2}=0.25v$×1，
解得：v=5m/s．
答：（1）释放ab后，小球先向右摆动再在水平面上做圆周运动．
（2）如果导电轻杆OA转动时与竖直线之间的夹角稳定为α=60°，金属棒ab速度v大小是5m/s．

点评 本题是匀速圆周运动和电磁感应相结合的题目，重点在于受力分析求得球的运动形式，第2问中将小球的运动转化到杆的运动是关键，还有小球运动模式的确定上．