Question

2．如图所示电路中，电源电动势E=12V，内阻r=1Ω，电阻R₁=9Ω，R₂=6Ω．滑动变阻器R₃的阻值变化范围为0～20Ω，求：
（1）理想电流表示数为0.5A时，R₃接入电路的阻值；
（2）电源的总功率最大值；
（3）R₃能获得的最大功率．

Answer 1

分析 首先明确电阻R₂和R₃并联，再与R₁串联，利用闭合电路的欧姆定律即可求解，利用P=IE分析即可求解电源最大功率；根据闭合电路欧姆定律以及功率公式求出R₃功率的表达式，结合数学知识求解最大值．

解答 解：（1）由电路图得：U_并=I₂R₂=0.5×6V=3V
据闭合电路欧姆定律得：E=U_并+I（R₁+r） 
所以  I=$\frac{12-3}{9+1}$=0.9A
据分流规律得：I₃=I-I₂=0.9-0.5=0.4A  
所以 R₃=$\frac{{U}_{并}}{{I}_{3}}=\frac{3}{0.4}=7.5Ω$
（2）据P=IE得，要使P最大，必需使I最大，由闭合电路的欧姆定律得R最小，所以R₃的阻值为零时，其功率最大．
由闭合电路的欧姆定律得：$I′=\frac{E}{{R}_{1}+r}=\frac{12}{10}=1.2A$
所以P_max=I'E=1.2A×12V=14.4W
（3）设并联部分的电阻为R，则R=$\frac{{R}_{2}{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}$=$\frac{6{R}_{3}}{6+{R}_{3}}$
并联部分的电压U=$\frac{R}{R+{R}_{1}+r}E=\frac{12R}{10+R}$，
则R₃的功率P=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{3}}$=$\frac{（\frac{12R}{10+R}）^{2}}{{R}_{3}}=\frac{144{R}^{2}}{（R+10）^{2}{R}_{3}}=\frac{144}{（1+\frac{100}{{R}^{2}}+\frac{20}{R}）{R}_{3}}$=$\frac{144}{\frac{100}{{R}_{3}}+\frac{64{R}_{3}}{9}+\frac{480}{9}}$
根据数学知识可知：$\frac{100}{{R}_{3}}+\frac{64{R}_{3}}{9}≥2\sqrt{\frac{100}{{R}_{3}}×\frac{64{R}_{3}}{9}}=\frac{160}{3}$，当$\frac{100}{{R}_{3}}=\frac{6{4R}_{3}}{9}$时，即R₃=3.75Ω，时取最小值$\frac{160}{3}$，
则R₃能获得的最大功率为P=$\frac{144}{\frac{160}{3}+\frac{480}{9}}=1.35W$
答：（1）理想电流表示数为0.5A时，R₃接入电路的阻值为7.5Ω；
（2）电源的总功率最大值为14.4W；
（3）R₃能获得的最大功率为1.35W．

点评 灵活应用闭合电路的欧姆定律是解题关键，会根据功率的表达式分析最值问题，能灵活应用串并联电路的特点，难度适中．