Question

18．为了测量某行星的质量和半径，宇航员记录了登陆舱在该行星表面做圆周运动的周期T，登陆舱在行星表面着陆后，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N．已知引力常量为G．则下列计算中正确的是（　　）

• A． 在该行星的第一宇宙速度为$\frac{NT}{2πm}$
• B． 该行星的密度为$\frac{3G}{{π{T^2}}}$
• C． 该行星的质量为$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}}$
• D． 该行星的半径为$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$

Answer 1

分析 在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，根据重力等于万有引力列式；登陆舱在该行星表面做圆周运动，根据牛顿第二定律列式；联立求解出质量和半径；第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度．

解答 解：CD、登陆舱在该行星表面做圆周运动，万有引力提供向心力，故：
$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$   ①
在星球表面，用弹簧称称量一个质量为m的砝码读数为N，故：
N=$\frac{GMm}{R^2}$  ②
联立解得：
M=$\frac{{{N^3}{T^4}}}{{16{π^4}G{m^3}}}$
R=$\frac{{N{T^2}}}{{4{π^2}m}}$
故C错误，D错误；
A、第一宇宙速度是星球表面轨道卫星的环绕速度，故：
$v=\frac{2πR}{T}=\frac{{2π（\frac{{N{T^2}}}{{4{π^2}m}}）}}{T}=\frac{NT}{2πm}$
故A正确；
B、行星的密度：$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{{\frac{{{N^3}{T^4}}}{{16{π^4}G{m^3}}}}}{{\frac{4}{3}π{{（\frac{{N{T^2}}}{{4{π^2}m}}）}^3}}}=\frac{3π}{{G{T^2}}}$
故B错误；
故选：A

点评 对于卫星问题，关键值记住两点：卫星的万有引力提供向心力；在星球表面，重力等于万有引力．