Question

20．某活动小组做了一个游戏：在水平直跑道上距离出发点18m、90m处分别放有1枚硬币，游戏规则是把这2枚硬币全部捡起来（捡硬币时，人的速度为0，不计人弯腰捡币时间），看谁用的时间最短．已知某同学做匀加速运动和匀减速运动的加速度大小均为2m/s²，运动的最大速度不超过8m/s，求该同学捡起2枚硬币所需要的最小时间．

Answer 1

分析 当该同学先加速再减速到零时，所用的时间最短，若加速的速度达到最大速度，则先加速、再匀速、最后减速所用的时间最短，结合位移大小，根据运动学公式求出最小时间．

解答 解：由题意可知，该同学先加速后减速运动时，所用的时间最短，因为最大速度为8m/s，则也可能先加速到最大速度、再匀速，最后减速所用的时间最短．
对于第一段过程，设经过t₁时间捡第一枚硬币，根据${x}_{1}=2×\frac{1}{2}a（\frac{t}{2}）^{2}$，
代入数据解得t₁=6s，
此过程中的最大速度${v}_{m}=a\frac{{t}_{1}}{2}=2×3m/s=6m/s＜8m/s$，
所以捡第一枚硬币的过程中，先加速，再减速用时最短．
设再经过t₂时间捡第二枚硬币，有：${x}_{2}=2×\frac{1}{2}a（\frac{{t}_{2}}{2}）^{2}$，
x₂=90-18m=72m，
代入数据解得t₂=12s，
此过程中的最大速度${v}_{2}=a\frac{{t}_{2}}{2}=2×6m/s=12m/s＞8m/s$，
所以捡第二枚硬币时，先加速、再匀速、最后减速时间最短．
设加速和减速的总时间为t₃，匀速运动的时间为t₄，
则有：${x}_{2}=2×\frac{1}{2}a（\frac{{t}_{3}}{2}）^{2}+{v}_{m}{t}_{4}$，
${v}_{m}=a\frac{{t}_{3}}{2}$，
代入数据解得t₃=8s，t₄=5s，
则最短总时间t=t₁+t₃+t₄=6+8+5s=19s．
答：该同学捡起2枚硬币所需要的最小时间为19s．

点评 解决本题的关键知道在什么情况下所用的时间最短，这是解决本题的突破口，注意若同学加速运动的末速度大于最大速度，则先加速、再匀速、最后减速所用的时间最短．