Question

11．天文学家将相距较近、仅在彼此万有引力作用下运行的两颗恒星成为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可估算出他们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕他们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期约为T，两颗恒星之间距离为r，万有引力常量为G，则可推算出这个双星系统的总质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$．

Answer 1

分析 这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：两颗恒星的质量为${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，做圆周运动的半径分别为${r}_{1}^{\;}$、${r}_{2}^{\;}$，角速度ω相等，周期相等
其中${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=r$
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
解得：${m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}}{{GT}_{\;}^{2}}{r}_{\;}^{2}$
${m}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}{r}_{\;}^{2}$
双星系统的总质量为：$m={m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）{r}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
故答案为：$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期．