Question

19．如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率v_l匀速向右运动．一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率v₂（v₂＞v_l）滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右端，不考虑轴承摩擦，就上述过程，下列判断正确的有（　　）

• A． 滑块返回传送带右端时的速率为v₂
• B． 此过程中传送带对滑块做功为$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²
• C． 此过程中电动机输出功为2mv₁²+mv₁v₂
• D． 此过程中滑块与传送带间因摩擦产生的热量为$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²

Answer 1

分析 物体冲上皮带后，受到向左的滑动摩擦力，减速向右滑行，之后依然受到向左的滑动摩擦力，会继续向左加速，然后根据v₁小于v₂的情况分析．根据动能定理得全过程传送带对物块做的总功．根据能量守恒找出各种形式能量的关系．

解答 解：A、由于传送带足够长，物体先减速向左滑行，直到速度减为零，然后物体会在滑动摩擦力的作用下向右匀加速，由于v₁＜v₂，物体会先在滑动摩擦力的作用下加速，当速度增大到等于传送带速度时与传送带一起向右匀速运动，滑块返回传送带右端时的速率 v′₂=v₁；故A错误；
B、此过程中只有传送带对滑块做功，根据动能定理得：传送带对滑块做功 W=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²，故B错误；
CD、设滑块向左运动的时间t₁，位移为x₁，则：x₁=$\frac{{v}_{2}}{2}$t₁
滑块克服摩擦力做功：W₁=fx₁=f$\frac{{v}_{2}}{2}$t₁…①
又滑块克服摩擦力做功等于滑块动能的减小，即：W₁=$\frac{1}{2}$mv₂²…②
该过程中传送带的位移：x₂=v₁t₁
摩擦力对滑块做功：W₂=fx₂=fv₁t₁=fv₁$\frac{2{x}_{1}}{{v}_{2}}$=2fx₁$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$…③
将①②代入③得：W₂=mv₁v₂
设滑块向右运动的时间t₂，位移为x₃，则：x₃=$\frac{{v}_{1}}{2}$t₂ 
摩擦力对滑块做功：W₃=fx₃=$\frac{1}{2}$mv₁²
该过程中传送带的位移：x₄=v₁t₂=2x₃
滑块相对传送带的总位移：x_相=x₁+x₂+x₄-x₃=x₁+x₂+x₃
滑动摩擦力对系统做功：W_总=fx_相对=W₁+W₂+W₃=$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²
滑块与传送带间摩擦产生的热量大小等于通过滑动摩擦力对系统做功，Q=W_总=f•x_相=$\frac{1}{2}$m（v₁+v₂）²；
C、全过程中，电动机对皮带做的功与滑块动能的减小量之和等于滑块与传送带间摩擦产生的热量，即Q=W+$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²
整理得：W=Q-$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$mv₁²=mv₁²+mv₁v₂，故C错误，D正确．
故选：D

点评 本题关键是对于物体返回的过程分析，物体先做减速运动，之后反向加速，最后做匀速运动．计算滑块与传送带间摩擦产生的热量时要根据相对位移求．