Question

9．物体A的质量M=2kg，静止在光滑水平面上，平板车B的质量为m=0.5kg、长L=1m．某时刻A以v₀=4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力．忽略物体A的大小，已知A与B之间的动摩擦因数μ=0.2，取重力加速度g=1m/s²，试求：
（1）若F=2N，物体A在小车B上相对小车B滑行的时间和最大距离；
（2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F的大小应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）首先分析物体A和车的运动情况：A相对于地做匀减速运动，车相对于地做匀加速运动．开始阶段，A的速度大于车的速度，则A相对于车向右滑行，当两者速度相等后，A相对于车静止，则当两者速度相等时，物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离．由牛顿第二定律和运动学公式结合，以及速度相等的条件，分别求出A与车相对于地的位移，两者之差等于A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离．
（2）要使A不从B上滑落，是指既不能从B的右端滑落，也不能左端滑落．物体A不从右端滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式结合，以及速度相等的条件，可求出此时F，为F的最小值．物体A不从左端滑落的临界条件是A到达B的左端时，A、B具有共同的速度，可求出此时F的最大值，综合得到F的范围．

解答 解：（1）物体A滑上木板B以后，作匀减速运动，由牛顿第二定律得：μMg=Ma_A，
所以：${a}_{A}=μg=0.2×10=2m/{s}^{2}$，
木板B作加速运动，由牛顿第二定律得：F+μMg=ma_B，
代入数据解得：${a}_{B}=\frac{F}{m}+\frac{μMg}{m}$=$\frac{2}{0.5}+\frac{0.2×2×10}{0.5}=12m/{s}^{2}$，
两者速度相同时：v₀-a_At=a_Bt，即：4-2t=12t，
解得：t=$\frac{2}{7}$ s，
A滑行距离：${x}_{A}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$=$4×\frac{2}{7}-\frac{1}{2}×2×（\frac{2}{7}）^{2}=\frac{52}{49}$m，
B滑行距离：${x}_{B}=\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}=\frac{1}{2}×12×（\frac{2}{7}）^{2}=\frac{24}{49}$m，
代入数据解得，最大距离：△x=x_A-x_B=$\frac{52}{49}-\frac{24}{49}=\frac{4}{7}$m．
（2）物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v₁，
则：$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{V}_{1}}^{2}}{2{a}_{A}}=\frac{{{V}_{1}}^{2}}{2{a}_{B}}+L$，
又$\frac{{v}_{0}-{V}_{1}}{{a}_{A}}=\frac{{V}_{1}}{{a}_{B}}$，
代入数据联立可得：a_B=6m/s²，F=ma_B-?Mg=1N
若F＜1N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F必须大于等于1N．
当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才不会从B的左端滑落．
即有：F=（m+M）a，?Mg=Ma　所以：F=5N
若F大于5N，A就会相对B向左滑下．综上：力F应满足的条件是：1N≤F≤5N．
答：（1）若F=2N，物体A在小车B上相对小车B滑行的时间是$\frac{2}{7}$s，最大距离是$\frac{4}{7}$m；
（2）如果要使A不至于从B上滑落，拉力F的大小应满足的条件是1N≤F≤5N．

点评 牛顿定律和运动公式结合是解决力学问题的基本方法，这类问题的基础是分析物体的受力情况和运动情况，难点在于分析临界状态，挖掘隐含的临界条件．