Question

4．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置．两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg．
（1）分别画出a、b在A点的受力图．
（2）分别计算a、b在A点的速度大小．
（3）求a、b两球落地点间的距离．

Answer 1

分析 （1）受力分析受重力和弹力即可
（2）a球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向下，大小为3mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出a球在最高点速度．
b球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向上，大小为0.75mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出b球在最高点速度．
（3）两球从最高点飞出后均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出运动时间．水平方向做匀速直线运动，由速度和初速度求解水平位移，a、b两球落地点间的距离等于位移之差．

解答 解：
（1）受力分析如图所示
（2）以a球为对象，设其到达最高点时的速度为v_a，根据向心力公式有：
         $mg+{F}_{a}=\frac{{mv}_{a}^{2}}{R}$    又F_a=3mg  
    代入解得${v}_{a}=2\sqrt{gR}$
以b球为对象，设其到达最高点时的速度为v_b，根据向心力公式有
         $mg-{F}_{b}=m\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$   
        又F_b=0.75mg   即$\frac{1}{4}mg=\frac{{mv}_{b}^{2}}{R}$
    所以   ${v}_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
（3）a、b两球脱离轨道的最高点后均做平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为：
      ${s}_{a}={v}_{a}t=2\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=4R$
      ${s}_{b}={v}_{b}t=\frac{1}{2}\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=R$
故a、b两球落地点间的距离△s=s_a-s_b=3R．
答：（1）受力分析可知如图
（2）a球在最高点速度为$2\sqrt{gR}$．b球在最高点速度$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
（3）a、b两球落地点间的距离为3R

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键