Question

19．已知地球半径为R．同步卫星的轨道半径为r．赤道上的物体和近地卫星加速度分别为a₁、a₂，速度分别为v₁、v₂，则以下关系正确的是（　　）

• A． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{R}^{3}}{{r}^{3}}$
• B． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{R}{r}\sqrt{\frac{R}{r}}$
• C． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{R}{r}\sqrt{\frac{R}{r}}$
• D． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{R}^{3}}{{r}^{3}}$

Answer 1

分析 同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等，根据a=rω²得出物体随地球自转的向心加速度与同步卫星的加速度之比；根据$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$得出同步卫星与近地卫星的加速度之比；根据万有引力提供向心力求出线速度与轨道半径的关系，从而求出近地卫星和同步卫星的线速度之比，由v=ωr得出地球赤道上的物体和同步卫星的线速度之比．

解答 解：AC、赤道上的物体和地球同步卫星具有相等的角速度，设同步卫星的加速度为${a}_{3}^{\;}$
根据$a={ω}_{\;}^{2}r$，赤道上的物体和同步卫星的加速度之比为：$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{3}^{\;}}=\frac{{ω}_{\;}^{2}R}{{ω}_{\;}^{2}r}=\frac{R}{r}$①
根据$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，近地卫星和同步卫星的加速度之比为：$\frac{{a}_{2}^{\;}}{{a}_{3}^{\;}}=\frac{G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}}{G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}}=\frac{{r}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$②
联立①②得$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{\;}^{3}}{{r}_{\;}^{3}}$，故A正确，C错误；
BD、设同步卫星的线速度为${v}_{3}^{\;}$
根据v=ωr，赤道上的物体和同步卫星的线速度之比为：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{3}^{\;}}=\frac{ωR}{ωr}=\frac{R}{r}$③
根据$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，近地卫星和同步卫星的线速度之比为：$\frac{{v}_{2}^{\;}}{{v}_{3}^{\;}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{r}}}=\sqrt{\frac{r}{R}}$④
联立③④得：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{R}{r}\sqrt{\frac{R}{r}}$，故B正确，D错误；
故选：AB

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比．运用万有引力提供向心力列出等式和运用圆周运动的物理量之间的关系列出等式解决问题．