如图所示.两根完全相同的金属导轨如图放置.两导轨间距为L.电阻不计.两条导轨足够长.所形成的斜面与水平面的夹角都是α=53°．两金属杆ab和cd长均为L.金属杆ab电阻为2R.金属杆cd电阻为R.质量分别为2m和m.两金属杆与导轨的摩擦系数μ=0.5.用一根质量可忽略的不可伸长的柔软绝缘细线通过滑轮将它们连接.两金属杆都处在水平位置．其中水平导� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图所示，两根完全相同的金属导轨如图放置，两导轨间距为L，电阻不计，两条导轨足够长，所形成的斜面与水平面的夹角都是α=53°．两金属杆ab和cd长均为L，金属杆ab电阻为2R，金属杆cd电阻为R，质量分别为2m和m，两金属杆与导轨的摩擦系数μ=0.5，用一根质量可忽略的不可伸长的柔软绝缘细线通过滑轮将它们连接，两金属杆都处在水平位置．其中水平导轨平面上有垂直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．若从静止释放金属杆ab和cd，ab棒移动的距离S后达到最大速度，在此运动过程中金属杆ab和cd始终未离开导轨，且不越过虚线位置．g=10m/s²．求

（1）金属杆ab运动的最大加速度．
（2）金属杆ab运动的最大速度．
（3）从静止达到最大速度过程中ab电阻产生的热量．

分析（1）对ab棒受力分析，由牛顿第二定律求得合力大小的表达式，根据表达式判定什么情况下加速度最大，最大值为多少；
（2）金属棒ab运动到速度最大时处于平衡状态，根据ab和cd的平均求得ab的最大速度；
（3）根据能量守恒求得回路中产生的总热量，再根据欧姆定律求得ab电阻产生的热量．

解答解：（1）ab棒与cd棒用细线相连，则可知它们的加速度大小相等，对cd棒分析有：
T-μmg-F=ma ①
对ab棒受力分析有：
2mgsin53°-μ2mgcos53°-T=2ma ②
由①+②两式可得：
2mgsn53°-μ2mgcos53°-μmg-F=3ma
由此表达式可知，ab运动的加速度a=$\frac{2mgsin53°-2μmgcos53°-μmg-F}{3m}$
可知当安培力F=0时，ab棒有最大加速度a=$\frac{2gsin53°-2μgcos53°-μg}{3}$=$\frac{2×10×0.8-2×0.5×10×0.6-0.5×10}{3}m/{s}^{2}$=$\frac{5}{3}m/{s}^{2}$
（2）由（1）分析知，当ab棒匀速运动时速度最大，此时满足a=0
即：cd棒所受安培力F=2mgsin53°-2μmgcos53°-μmg
令此时最大速度为v，则cd棒切割磁感线产生的电动势E=BLv
据欧姆定律有此时导体棒的中电流I=$\frac{E}{2R+R}$
所受安培力F=$BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}=2mgsin53°-2μmgcos53°-μmg$
可得导体棒的最大速度v=$\frac{3R}{{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{1}{2}mg$
（3）根据能量守恒定律可知，整个过程中有：
2mgssin53°=$\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}-μmgs-μ2mgscos53°$+Q
可得两电阻中产生的热量Q=2mgssin53°-μmgs-μ2mgscos53°$-\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mgs$$-\frac{27{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$
据Q=I²Rt可得，ab电阻上产生的热量${Q}_{a}=\frac{2R}{2R+R}Q$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{2}mgs-\frac{27{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}）$=$\frac{1}{3}mgs-\frac{9{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）金属杆ab运动的最大加速度为$\frac{5}{3}m/{s}^{2}$．
（2）金属杆ab运动的最大速度为$\frac{3R}{{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{1}{2}mg$．
（3）从静止达到最大速度过程中ab电阻产生的热量为$\frac{1}{3}mgs-\frac{9{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评本题综合考查了切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律、共点力平衡等知识，综合性较强，难度较大．

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